As diagonais de um losango estão entre si como 27. Determine a área desse losango, sabendo que a soma de suas diagonais é igual ao perímetro de um quadrado de 81 cm^2 de área.

Passo 1

O enunciado diz que as diagonais de um losango estão entre si como 27 e que a soma dessas diagonais é igual ao perímetro de um quadrado cuja área é 81,cm^2. O que buscamos é a área do losango, sabendo que a fórmula é
A = d1,d22,
onde d1 e d2 são as diagonais.

Passo 2

Como a área do quadrado é 81,cm^2, seu lado vale
ell = raiz81 = 9,cm,
logo o perímetro é
4ell = 4cdot 9 = 36,cm

Passo 3

Sejam d1 e d2 as diagonais do losango. Da razão
d1d2 = 27
existe k>0 tal que d1 = 2k e d2 = 7k. Como a soma das diagonais é 36,cm, temos
2k + 7k = 36 Longrightarrow 9k = 36 Longrightarrow k = 4
Portanto
d1 = 8,cm, d2 = 28,cm

Passo 4

Aplicando a fórmula da área do losango:
A = d1,d22 = 8 times 282 = 2242 = 112,cm^2

Resposta

A área do losango é 112,cm^2.

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