As projeções que os catetos de um triângulo retângulo determinam na hipotenusa medem 16 cm e 9 cm . Determine a razão entre a área do círculo inscrito e a área do círculo circunscrito a esse triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem ,16 cm e ,9 cm. Vamos usar as relações métricas do triângulo retângulo, que dizem que a projeção de a sobre a hipotenusa é tfraca^2c e a de b é tfracb^2c, além das fórmulas do raio do círculo inscrito r e do circunscrito R:
r = dfracAs e R = dfracc2, onde A é a área e s o semiperímetro.

Passo 2

Das projeções temos
a^2c = 16
b^2c = 9
Multiplicando cada uma por c e somando,
a^2 + b^2 = 25,c
Pelo Teorema de Pitágoras a^2 + b^2 = c^2, segue
c^2 = 25,c
e, como c>0,
c = 25

Passo 3

Substituindo em a^2 = 16,c e b^2 = 9,c
a^2 = 400, b^2 = 225
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a = 20, b = 15

Passo 4

A área do triângulo é
A = a,b2 = 20cdot152 = 150
O semiperímetro é
s = a + b + c2 = 20 + 15 + 252 = 30
Assim o raio do inscrito é
r = As = 15030 = 5

Passo 5

O raio do circunscrito é
R = c2 = 252 = 12,5

Passo 6

A razão entre as áreas dos círculos é
pi r^2pi R^2 = (rR)^2 = (512,5)^2 = (25)^2 = 425

Resposta

A razão é 425.

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