As projeções que os catetos de um triângulo retângulo determinam na hipotenusa medem 16 cm e 9 cm . Determine a razão entre a área do círculo inscrito e a área do círculo circunscrito a esse triângulo.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem
cm e
cm. Vamos usar as relações métricas do triângulo retângulo, que dizem que a projeção de
sobre a hipotenusa é
e a de
é
, além das fórmulas do raio do círculo inscrito
e do circunscrito
:
e
, onde
é a área e
o semiperímetro.
Passo 2
Das projeções temos
Multiplicando cada uma por
e somando,
Pelo Teorema de Pitágoras
, segue
e, como
,
Passo 3
Substituindo em
e
dá
logo
Passo 4
A área do triângulo é
O semiperímetro é
Assim o raio do inscrito é
Passo 5
O raio do circunscrito é
Passo 6
A razão entre as áreas dos círculos é
Resposta
A razão é
.