Quantas medidas, duas a duas diferentes, obtemos quando medimos as diagonais de um:
heptágono regular;

Passo 1

O enunciado pede quantas medidas diferentes, tomadas duas a duas, aparecem ao medir todas as diagonais de um heptágono regular. Aqui o conteúdo é geometria de polígonos regulares, mais precisamente o estudo dos comprimentos de cordas (distância entre vértices).

Passo 2

Em um polígono regular de n lados de raio (circun-)circunscrito R, a distância entre dois vértices que estão a k vértices de separação é dada pela fórmula da corda:
dk ;=; 2Rsin!l(pi knr)
Além disso, essa distância satisfaz a simetria dk=dn-k.

Passo 3

No caso n=7, as únicas separações que geram diagonais (excluindo arestas, que seriam k=1 ou k=6) são
k=2,3,4,5
Pela simetria das cordas temos
d2 = d5 e d3 = d4

Passo 4

As duas medidas de diagonal restantes, d2 e d3, são diferentes entre si porque
sin!l(tfrac2pi7r)neq sin!l(tfrac3pi7r)
Logo, existem exatamente duas medidas distintas de diagonais.

Resposta

Duas medidas distintas.

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