Com os dígitos 1,2,3,4,5,6,7, de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações dos dígitos de 1 a 7 em que os dígitos ímpares 1,3,5,7 aparecem sempre em ordem crescente quando lidos da esquerda para a direita. O conteúdo envolvido é contagem de permutações com restrição de ordem relativa. Para resolver, vamos escolher posições para os ímpares e depois permutar os pares.

Passo 2

Escolhendo as posições dos ímpares: entre as 7 posições da permutação, precisamos marcar 4 para os dígitos ímpares. O número de formas de escolher essas posições é
binom74

Passo 3

Colocando os ímpares em ordem crescente nessas 4 posições: uma vez fixadas as posições, há exatamente 1 jeito de colocar 1,3,5,7 respeitando a ordem 1<3<5<7.
Os dígitos pares 2,4,6 ocupam as 3 posições restantes e podem ser permutados de qualquer forma, ou seja, 3! maneiras.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações válidas é
binom74times 3! ;=;35times 6 ;=;210

Resposta

210

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