As dimensões de um ortoedro são inversamente proporcionais a r, s e t. Calcule essas dimensões, dada a diagonal d.

Solução

Sejam x, y e z as dimensões:
x^2+y^2+z^2=d^2
x=1r k
y=1s k
z=1t k Rightarrow
Rightarrow x=stbarr k!
y=r tr-s t rvert, bark
z=r sr=s t
Mudando a constante para K=kr s t, vem:
x=stK
y=r t K
z=r s K
(2) em (1): K^2(s^2 t^2+r^2 t^2+r^2 s^2)=d^2 Rightarrow K=draizs^2 t^2+r^2 t^2+r^2 s^2
Substituindo em (2), vem a resposta:
x=s t draizs^2 t^2+r^2 t^2+r^2 s^2
y=r t draizs^2 t^2+r^2 t^2+r^2 s^2 ;
z=r s draizs^2 t^2+r^2 t^2+r^2 s^2.

Passo 1

O enunciado quer as arestas x,y,z de um ortoedro cuja diagonal mede d e tais que
x : y : z = 1r : 1s : 1t
O conteúdo usado será regra de três composta (proporcionalidade inversa) e a fórmula da diagonal em função das arestas:
x^2 + y^2 + z^2 = d^2

Passo 2

Da proporcionalidade inversa introduzimos uma constante k de modo que
x = kr, y = ks, z = kt

Passo 3

Usamos a relação da diagonal:
x^2 + y^2 + z^2 = d^2 ;Longrightarrow; l(tfrackrr)^2 + l(tfracksr)^2 + l(tfracktr)^2 = d^2
Fatorando k^2, vem
k^2l(tfrac1r^2 + tfrac1s^2 + tfrac1t^2r) = d^2 Longrightarrow k = draiztfrac1r^2 + tfrac1s^2 + tfrac1t^2

Passo 4

Para obter uma fórmula mais simétrica, note que
1r^2 + 1s^2 + 1t^2 = s^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2r^2s^2t^2
Logo
k = draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2r^2s^2t^2 = d,r,s,traizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2

Passo 5

Finalmente, substituindo em x = k/r, y = k/s, z = k/t, obtemos
x = s,t,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2, y = r,t,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2, z = r,s,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2

Resposta

x = s,t,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2, y = r,t,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2, z = r,s,draizs^2t^2 + r^2t^2 + r^2s^2

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