a x + y + 2z = b, 2a x - y + 2z = 1, 2x + y + 2z = 3
É um sistema linear 3times3 com parâmetros a e b. Para discutir o sistema usaremos Álgebra Linear: calculamos o determinante da matriz de coeficientes para ver quando ela é invertível (solução única) e, no caso singular, analisamos consistência do sistema aumentado (nenhuma ou infinitas soluções).
Passo 2
Escrevemos a matriz de coeficientes
A = a & 1 & 2 2a & -1 & 2 2 & 1 & 2
e calculamos
det(A) = a-1&21&2 -12a&22&2 +22a&-12&1
Isso dá
det(A)=-4a;-;(4a-4);+;(4a+4);=;-4a+8;=;4(2-a)
Passo 3
Como det(A)=4(2-a), concluímos:
Se aneq2, então det(A)neq0 e o sistema tem única solução.
Para aneq2 obtemos por eliminação
x=3-b2-a, y=3-2x-2z, 2x+y+2z=3
ou, de modo fechado, por exemplo
x=3-b2-a, y=1+(a-1)(3-b)2-a, z=1-(a+1)(3-b)2(2-a)
Passo 4
Se a=2, então a matriz é singular (det(A)=0) e as duas primeiras equações tornam-se
2x+y+2z=b, 4x-y+2z=1,
enquanto a terceira é
2x+y+2z=3
Comparando a primeira e a terceira, exige-se b=3 para consistência; se bneq3 as retas são conflitantes e não há solução.
Passo 5
Quando a=2 e b=3, as equações reduzidas deixam duas equações independentes em três incógnitas, gerando infinitas soluções. Por exemplo, tomando parâmetro t=y, obtém-se
x=t-1, y=t, z=5-3t2,
com tinR.
Resposta
Para aneq2 o sistema tem solução única, dada por
x=3-b2-a, y=1+(a-1)(3-b)2-a, z=1-(a+1)(3-b)2(2-a)
Para a=2:
Se bneq3, não há solução.
Se b=3, há infinitas soluções, por exemplo l(x,y,zr)=(t-1,;t,;(5-3t)/2), tinR.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 386