Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
l -x+y+2 z=1 2 x-y-z=1 3 x+2 y-z=2

Passo 1

O sistema fornecido é
-x + y + 2z = 1, 2x - y - z = 1, 3x + 2y - z = 2
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e aplicação do teorema de Rouché–Capelli, que afirma que o sistema é compatível se, e somente se, rank(A)=rank([Amid b]), e é determinado (solução única) se esse posto for igual ao número de incógnitas.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = -1 & 1 & 2 2 & -1 & -1 3 & 2 & -1
Calculamos o determinante para obter o posto de A:
det(A) = -1-1 & -12 & -1 -12 & -13 & -1 +22 & -13 & 2 =10neq0
Como det(A)neq0, temos rank(A)=3. O posto da matriz aumentada [Amid b] também é 3, logo o sistema é compatível determinado.

Passo 3

Para achar a solução, aplicamos eliminação de Gauss. Multiplicando a primeira equação por -1 obtemos
x - y - 2z = -1
Subtraindo 2 vezes essa equação da segunda, vem
y + 3z = 3,
e subtraindo 3 vezes dessa da terceira, vem
y + z = 1
Dessas duas últimas
y + z = 1, y + 3z = 3
implies 2z = 2 implies z = 1, y = 1 - z = 0
Por fim, de x - y - 2z = -1 segue
x - 0 - 2cdot1 = -1 implies x = 1

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua única solução é
(x,y,z) = (1,0,1)

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