Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique e resolva os seguintes sistemas:
Passo 1
O sistema fornecido é
-x + y + 2z = 1, 2x - y - z = 1, 3x + 2y - z = 2
O conteúdo é resolução de sistemas lineares e aplicação do teorema de Rouché–Capelli, que afirma que o sistema é compatível se, e somente se, rank(A)=rank([Amid b]), e é determinado (solução única) se esse posto for igual ao número de incógnitas.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = -1 & 1 & 2 2 & -1 & -1 3 & 2 & -1
Calculamos o determinante para obter o posto de A:
Como det(A)neq0, temos rank(A)=3. O posto da matriz aumentada [Amid b] também é 3, logo o sistema é compatível determinado.
Passo 3
Para achar a solução, aplicamos eliminação de Gauss. Multiplicando a primeira equação por -1 obtemos
x - y - 2z = -1
Subtraindo 2 vezes essa equação da segunda, vem
y + 3z = 3,
e subtraindo 3 vezes dessa da terceira, vem
y + z = 1
Dessas duas últimas
y + z = 1, y + 3z = 3
implies 2z = 2 implies z = 1, y = 1 - z = 0
Por fim, de x - y - 2z = -1 segue
x - 0 - 2cdot1 = -1 implies x = 1
Resposta
O sistema é compatível determinado e sua única solução é
(x,y,z) = (1,0,1)
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 438.f