Discuta, segundo os valores do parâmetro m, os seguintes sistemas:
a) \left{ m x+y+z & =1 x+m y+z & =m x+y+m z & =-2\right.

Passo 1

O enunciado pede para discutir as soluções do sistema
m x + y + z = 1, x + m y + z = m, x + y + m z = -2
em função do parâmetro m. O conteúdo principal aqui é estudar a matriz de coeficientes
A = m & 1 & 1 1 & m & 1 1 & 1 & m
usando determinantes e, quando possível, a regra de Cramer para encontrar a solução única.

Passo 2

Calculamos primeiro o determinante de A. Expandindo por Laplace, chega-se a
det A = m^3 - 3m + 2 = (m-1)^2,(m+2)
Logo
det A neq 0 Long<=ftrightarrow mneq 1 e mneq -2

Passo 3

Quando mneq 1 e mneq -2, o sistema tem solução única dada pela regra de Cramer. Os determinantes de cada variável são:
detx = 3(m-1), dety = m^3 - 1, detz = 3l(1-m^2r)
Portanto
x = detxdet A = 3(m-1)(m-1)^2(m+2) =3(m-1)(m+2),
y = detydet A = m^3 - 1(m-1)^2(m+2) =m^2 + m + 1(m-1)(m+2),
z = detzdet A = 3(1-m^2)(m-1)^2(m+2) =-3(m+1)(m-1)(m+2)

Passo 4

Para m = 1, temos det A=0. O sistema vira
x + y + z = 1, x + y + z = 1, x + y + z = -2,
as duas primeiras equações coincidem e a terceira é contraditória. Logo não há solução.

Passo 5

Para m = -2, também det A=0. O sistema torna-se
-2x + y + z = 1, x - 2y + z = -2, x + y - 2z = -2,
e somando as duas primeiras obtém-se uma equação incompatível com a terceira. Portanto não há solução.

Resposta

O sistema
– tem solução única para mneq 1 e mneq -2, dada por
x=3(m-1)(m+2), y=m^2 + m + 1(m-1)(m+2), z=-3(m+1)(m-1)(m+2);
– não tem solução para m=1 ou m=-2.

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