A que distâncias do vértice se devem traçar, sobre a altura de um cone, planos paralelos à sua base, de modo que ele fique dividido em 3 sólidos de volumes iguais, sendo 21 m a medida da sua altura?
Passo 1
O enunciado pede para dividir um cone de altura
m em três partes de volumes iguais, traçando planos paralelos à base a distâncias
e
do vértice. O conteúdo aqui é semelhança de sólidos e o fato de que, ao cortar um cone por um plano paralelo à base, o pequeno cone resultante mantém as proporções lineares do original, e seu volume escala com o cubo do fator de semelhança.
Passo 2
Seja
o raio da base do cone original. A seu interior, a seção a uma distância
do vértice é um círculo de raio
O volume do cone de vértice até essa seção é
onde
é o volume total do cone.
Passo 3
Queremos o plano que corta o cone de modo que a parte de vértice até ele tenha volume
. Logo,
Passo 4
O segundo plano deve deixar os dois primeiros volumes somados igual a
, ou seja,
Passo 5
Substituindo
m:
Resposta
As distâncias do vértice são