A que distâncias do vértice se devem traçar, sobre a altura de um cone, planos paralelos à sua base, de modo que ele fique dividido em 3 sólidos de volumes iguais, sendo 21 m a medida da sua altura?

Passo 1

O enunciado pede para dividir um cone de altura H=21 m em três partes de volumes iguais, traçando planos paralelos à base a distâncias x1 e x2 do vértice. O conteúdo aqui é semelhança de sólidos e o fato de que, ao cortar um cone por um plano paralelo à base, o pequeno cone resultante mantém as proporções lineares do original, e seu volume escala com o cubo do fator de semelhança.

Passo 2

Seja R o raio da base do cone original. A seu interior, a seção a uma distância x do vértice é um círculo de raio
r = RH,x
O volume do cone de vértice até essa seção é
V(x) ;=; pi r^2 x3 ;=;pi3l(RHxr)^2x ;=;pi R^2H3,l(xHr)^3 ;=;Vtotall(xHr)^3,
onde Vtotal=tfracpi R^2H3 é o volume total do cone.

Passo 3

Queremos o plano que corta o cone de modo que a parte de vértice até ele tenha volume Vtotal/3. Logo,
V(x1)=Vtotall(x1Hr)^3=Vtotal3 Longrightarrow l(x1Hr)^3=13 Longrightarrow x1=Hl(3^-1r)^1/3

Passo 4

O segundo plano deve deixar os dois primeiros volumes somados igual a 2Vtotal/3, ou seja,
V(x2)=Vtotall(x2Hr)^3=2Vtotal3 Longrightarrow l(x2Hr)^3=23 Longrightarrow x2=Hl(tfrac23r)^1/3

Passo 5

Substituindo H=21 m:
x1 = 21cdot 3^-1/3 approx 21cdot 0,6934 approx 14,56 m,
x2 = 21cdot l(tfrac23r)^1/3 approx 21cdot 0,8736 approx 18,35 m

Resposta

As distâncias do vértice são
x1 = 21cdot 3^-1/3approx14,56 m, x2 = 21cdot l(tfrac23r)^1/3approx18,35 m

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