(FGV-SP) Usando as letras do conjunto a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, quantas senhas de 4 letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam necessariamente diferentes?
a) 7290
b) 5040
c) 1 0 0 0 0
d) 6840
e) 1 1 2 2 0

Passo 1

O enunciado está em Conteúdo de Combinatória, mais especificamente no Princípio Multiplicativo: queremos formar senhas de 4 letras escolhidas de a,b,c,d,e,f,g,h,i,j de modo que nenhuma letra seja igual à sua vizinha (duas letras adjacentes são necessariamente diferentes).

Passo 2

Para a primeira posição da senha não há restrição anterior, então escolhemos qualquer uma das 10 letras. Logo, há
10
maneiras de preencher a primeira casa.

Passo 3

Para a segunda posição não podemos repetir a letra usada em primeiro lugar. Como havia 10 letras e uma está “bloqueada”, restam
10 - 1 = 9
possibilidades.

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para a terceira posição: ela não pode coincidir com a segunda, mas pode ser qualquer uma das outras 9 letras. Logo, há
9
maneiras de escolher a terceira letra.

Passo 5

Da mesma forma, a quarta posição não pode repetir a terceira, então também dispõe de
9
opções.

Passo 6

Pelo Princípio Multiplicativo, o total de senhas é o produto das escolhas em cada posição:
10 times 9 times 9 times 9 = 10 times 9^3 = 10 times 729 = 7290
Verificando as alternativas, isso corresponde à letra (a).

Resposta

(a) 7290

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