Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se a parte central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcule a soma dos comprimentos retirados.

Passo 1

O enunciado descreve um segmento inicial de comprimento m. Em cada iteração divide-se cada segmento remanescente em três partes iguais e retira-se a parte central. Queremos a soma de todos os comprimentos removidos até o processo infinito. Vamos usar séries geométricas para somar esses comprimentos.

Passo 2

Na primeira iteração remove-se uma parte de comprimento
m3
Após isso ficam dois segmentos de comprimento tfracm3 cada.

Passo 3

Na segunda iteração cada um dos dois segmentos é dividido em três, e retira-se a parte central de cada um. O comprimento removido nesta etapa é
2 times 13l(m3r) = 2m9

Passo 4

Em geral, na k-ésima iteração existem 2^,k-1 segmentos de comprimento tfracm3^,k-1 cada, e de cada um se retira um terço, isto é tfracm3^k. Logo o total retirado na etapa k é
2^,k-1times m3^k = m;2^,k-13^k = m;13l(23r)^k-1

Passo 5

Somando todas as etapas, a quantidade total removida é a série
S = sumk=1^infty m;13l(23r)^k-1 = m;13sumn=0^inftyl(23r)^n = m;1/31-2/3 = m

Resposta

m

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