Divide-se um segmento de comprimento
em três partes iguais e retira-se a parte central; para cada um dos segmentos repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim sucessivamente. Calcule a soma dos comprimentos retirados.
Passo 1
O enunciado descreve um segmento inicial de comprimento
. Em cada iteração divide-se cada segmento remanescente em três partes iguais e retira-se a parte central. Queremos a soma de todos os comprimentos removidos até o processo infinito. Vamos usar séries geométricas para somar esses comprimentos.
Passo 2
Na primeira iteração remove-se uma parte de comprimento
Após isso ficam dois segmentos de comprimento
cada.
Passo 3
Na segunda iteração cada um dos dois segmentos é dividido em três, e retira-se a parte central de cada um. O comprimento removido nesta etapa é
Passo 4
Em geral, na
-ésima iteração existem
segmentos de comprimento
cada, e de cada um se retira um terço, isto é
. Logo o total retirado na etapa
é
Passo 5
Somando todas as etapas, a quantidade total removida é a série