(UF-GO) Dois amigos decidem fazer uma caminhada em uma pista circular, partindo juntos de um mesmo lugar, percor-rendo-a em sentido contrário, caminhando com velocidades constantes, sendo que a velocidade de um deles é igual a 80 % da velocidade do outro. Durante a caminhada, eles se encontraram diversas vezes. Determine qual é o menor número de voltas que cada um deles deve dar para que eles se encontrem novamente no ponto de partida.

Passo 1

O enunciado diz que dois amigos partem juntos de um mesmo ponto de uma pista circular de comprimento L, cada um caminhando em sentido contrário com velocidades constantes, sendo que a de um é 80% da do outro. Queremos saber quantas voltas cada um deve dar para que eles se reencontrem no ponto de partida ao mesmo tempo. O conteúdo principal aqui é o mínimo múltiplo comum dos períodos de volta, obtido igualando os tempos em que cada um completa um número inteiro de voltas.

Passo 2

Denotemos por vrm R a velocidade mais rápida e por vrm L=0,8,vrm R a mais lenta.
O tempo que o corredor rápido leva para dar uma volta é
Trm R = Lvrm R,
e o tempo do lento é
Trm L = Lvrm L = L0,8,vrm R = 10,8,Lvrm R = 1,25,Trm R

Passo 3

Seja nrm R o número de voltas do rápido e nrm L o do lento até o reencontro no ponto de partida. Ambos devem chegar lá simultaneamente, isto é,
nrm R,Trm R ;=; nrm L,Trm L
Substituindo Trm L=1,25,Trm R, vem
nrm R,Trm R = nrm L,(1,25,Trm R) Longrightarrow nrm R = 1,25,nrm L

Passo 4

A relação nrm R=1,25,nrm L é o mesmo que
nrm Rnrm L = 54
O menor par de inteiros positivos que respeita essa razão é
nrm L=4 e nrm R=5

Resposta

O corredor mais lento deve dar 4 voltas e o mais rápido deve dar 5 voltas para que eles se reencontrem pela primeira vez no ponto de partida.

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