(UF-GO) Dois amigos decidem fazer uma caminhada em uma pista circular, partindo juntos de um mesmo lugar, percor-rendo-a em sentido contrário, caminhando com velocidades constantes, sendo que a velocidade de um deles é igual a
da velocidade do outro. Durante a caminhada, eles se encontraram diversas vezes. Determine qual é o menor número de voltas que cada um deles deve dar para que eles se encontrem novamente no ponto de partida.
Passo 1
O enunciado diz que dois amigos partem juntos de um mesmo ponto de uma pista circular de comprimento
, cada um caminhando em sentido contrário com velocidades constantes, sendo que a de um é
da do outro. Queremos saber quantas voltas cada um deve dar para que eles se reencontrem no ponto de partida ao mesmo tempo. O conteúdo principal aqui é o mínimo múltiplo comum dos períodos de volta, obtido igualando os tempos em que cada um completa um número inteiro de voltas.
Passo 2
Denotemos por
a velocidade mais rápida e por
a mais lenta.
O tempo que o corredor rápido leva para dar uma volta é
O tempo que o corredor rápido leva para dar uma volta é
e o tempo do lento é
Passo 3
Seja
o número de voltas do rápido e
o do lento até o reencontro no ponto de partida. Ambos devem chegar lá simultaneamente, isto é,
Substituindo
, vem
Passo 4
A relação
é o mesmo que
O menor par de inteiros positivos que respeita essa razão é
Resposta
O corredor mais lento deve dar
voltas e o mais rápido deve dar
voltas para que eles se reencontrem pela primeira vez no ponto de partida.