No triângulo ABC, tem-se que AB>AC, AC=4 e cos C=38. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento B C e é tal que A R=A C e BRBC=47, calcule:
a altura do triângulo A B C relativa ao lado BC.

Passo 1

O enunciado descreve um triângulo ABC em que AB>AC, AC=4 e cos!hat C=tfrac38. Há um ponto R em BC tal que AR=AC e tfracBRBC=tfrac47. Precisamos encontrar a altura relativa ao lado BC, ou seja, a distância de A à reta BC.

Passo 2

Vamos usar coordenadas: coloque C=(0,0) e B=(x,0), onde x=BC. Como AC=4 e o ângulo hat C entre CA e CB satisfaz cos!hat C=tfrac38, escolhemos
A = l(4cos!hat C,;4sin!hat Cr) =l(4cdottfrac38,;4raiz1-l(tfrac38r)^2r) =l(tfrac32,;tfracraiz552r)

Passo 3

O ponto R divide BC de modo que tfracBRBC=tfrac47. Então
R = B + tfrac47(C-B) =l(x,0r)+tfrac47l(-x,0r) =l(tfrac3x7,0r)

Passo 4

Impondo AR=4 e usando a fórmula da distância, temos
AR^2 =l(tfrac3x7-tfrac32r)^2+l(tfracraiz552r)^2 =16
Desenvolvendo,
l(tfrac3x7-tfrac32r)^2+tfrac554=16 Longrightarrow tfrac9x^249-tfrac9x7=0 Longrightarrow x=7
Logo BC=7.

Passo 5

Como a reta BC coincide com o eixo x, a altura relativa a BC é simplesmente a ordenada de A, ou seja,
h = raiz552

Resposta

A a<ura relativa ao lado BC é h=raiz552 é

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