Dois círculos de raios R e r são tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta t externa, com os dois círculos, determine a altura do triângulo ACD relativa ao lado CD.

Passo 1

O enunciado dá dois círculos de raios R e r que se tangenciam exteriormente no ponto A. Uma reta t é tangente ao círculo de raio R em C e ao de raio r em D. Pede-se a altura do triângulo ACD relativa ao lado CD.
Conteúdo: geometria de tangentes e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Denotemos por O1 o centro do círculo de raio R e por O2 o centro do de raio r. Como t é reta tangente, temos
O1Cperp CDe O2Dperp CD,
logo a distância de O1 à reta CD é R e a distância de O2 a essa reta é r.

Passo 3

O ponto A está sobre o segmento O1O2 a uma distância O1A=R de O1, enquanto O1O2=R+r. Numa configuração em que a distância perpendicular a uma reta varia linearmente ao longo de um segmento, a distância de A à reta CD é
h =R+O1AO1O2,(r-R) =R+RR+r(r-R) =2R,rR+r

Resposta

A altura do triângulo ACD relativa a CD é
boxedh=2R,rR+r

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