Dois círculos de raios R e são tangentes exteriormente no ponto A. Sendo C e D os pontos de tangência de uma reta externa, com os dois círculos, determine a altura do triângulo ACD relativa ao lado .
Passo 1
O enunciado dá dois círculos de raios R e r que se tangenciam exteriormente no ponto A. Uma reta t é tangente ao círculo de raio R em C e ao de raio r em D. Pede-se a altura do triângulo ACD relativa ao lado CD.
Conteúdo: geometria de tangentes e distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Denotemos por O1 o centro do círculo de raio R e por O2 o centro do de raio r. Como t é reta tangente, temos
O1Cperp CDe O2Dperp CD,
logo a distância de O1 à reta CD é R e a distância de O2 a essa reta é r.
Passo 3
O ponto A está sobre o segmento O1O2 a uma distância O1A=R de O1, enquanto O1O2=R+r. Numa configuração em que a distância perpendicular a uma reta varia linearmente ao longo de um segmento, a distância de A à reta CD é
h =R+O1AO1O2,(r-R) =R+RR+r(r-R) =2R,rR+r
Resposta
A altura do triângulo ACD relativa a CD é
boxedh=2R,rR+r
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 485