Por um ponto P distante 18 cm de uma circunferência, traça-se uma secante que determine na circunferência uma corda A B de medida 10 cm . Calcule o comprimento da tangente a essa circunferência traçada do ponto P , sabendo que AB passa pelo centro da circunferência.

Passo 1

O enunciado diz que temos um ponto P exterior a uma circunferência, de modo que a distância de P até a circunferência (isto é, até o ponto de tangência) é de 18,cm. Pelo mesmo ponto P traça-se uma secante que corta a circunferência em A (intersecção mais próxima de P) e em B, de modo que a corda AB mede 10,cm e passa pelo centro da circunferência.
Conteúdo usado:
  • O fato de que uma corda que passa pelo centro é um diâmetro.
  • O teorema da secante e da tangente:
PT^2 = PAcdot PB,
onde T é o ponto de tangência de P à circunferência.

Passo 2

Como AB é diâmetro, seu comprimento AB=10 implica que o raio da circunferência é
r = AB2 = 102 = 5 cm
Além disso, a distância de P até o círculo (isto é, até A) é PA = 18,cm, pois A é o ponto mais próximo de P na circunferência.

Passo 3

O ponto B fica do outro lado da circunferência, então
PB = PA + AB = 18 + 10 = 28 cm
Pelo teorema da secante e da tangente temos
PT^2 = PAcdot PB = 18 times 28 = 504

Passo 4

Logo o comprimento da tangente é
PT = raiz504 = raiz9 times 56 = 3raiz56 = 3raiz4cdot14 = 6raiz14 cm

Resposta

O comprimento da tangente é 6raiz14 cm.

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