Numa progressão geométrica de 4 termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Determine o 4ọ termo dessa progressão.

Passo 1

O enunciado fala de uma progressão geométrica de quatro termos cujos termos são
a,;ar,;ar^2,;ar^3
e dá as seguintes informações:
– a soma dos termos de ordem ímpar (1.º e 3.º) vale 5;
– a soma dos termos de ordem par (2.º e 4.º) vale 10.
Queremos encontrar o quarto termo ar^3.

Passo 2

Escrevemos a soma dos termos de ordem ímpar e a soma dos termos de ordem par em função de a e r:
a + ar^2 = a(1+r^2) = 5,
ar + ar^3 = ar(1+r^2) = 10

Passo 3

Para eliminar a(1+r^2), dividimos a segunda equação pela primeira:
ar(1+r^2)a(1+r^2) = 105 Longrightarrow r = 2

Passo 4

Substituímos r=2 em a(1+r^2)=5:
al(1+2^2r)=5 Longrightarrow acdot 5=5 Longrightarrow a=1

Passo 5

Agora calculamos o quarto termo:
ar^3 = 1 cdot 2^3 = 8

Resposta

O quarto termo da progressão geométrica é 8.

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