Dois eneágonos regulares convexos têm lados respectivamente iguais a 2 cm e 3 cm . Determine o lado do eneágono regular convexo cuja área é igual à soma das áreas dos dois primeiros.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do lado de um eneágono regular convexo (isto é, um polígono de n=9 lados) cuja área seja igual à soma das áreas de dois outros eneágonos regulares convexos, cujos lados medem 2,cm e 3,cm. O conteúdo aqui é a fórmula da área de um polígono regular de n lados e lado a.

Passo 2

A área A de um polígono regular convexo de n lados, cada um de comprimento a, é dada por
A = n,a^24,tanl(pinr)
No nosso caso, n=9, então toda vez que usarmos essa fórmula aparece o mesmo fator 94tan(pi/9).

Passo 3

Calculemos as áreas dos dois eneágonos dados, com lados a1=2 e a2=3:
A1 = 9cdot 2^24,tan(pi/9), A2 = 9cdot 3^24,tan(pi/9)
A soma dessas áreas é
A1 + A2 = 9,(2^2 + 3^2)4,tan(pi/9) = 9cdot 134,tan(pi/9)

Passo 4

Seja x o lado do eneágono cuja área A3 iguala essa soma. Pela mesma fórmula,
A3 = 9,x^24,tan(pi/9)
Igualando A3 = A1 + A2 resulta
9,x^24,tan(pi/9) = 9cdot 134,tan(pi/9) Longrightarrow x^2 = 13

Resposta

O lado do eneágono procurado tem comprimento
x = raiz13,cm

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