Dois lados homólogos de dois pentágonos semelhantes medem 6 cm e 8 cm , respectivamente. Determine o lado do terceiro pentágono semelhante aos dois primeiros, sabendo que sua área é igual à soma das áreas dos dois primeiros pentágonos.
Passo 1
O enunciado dá três pentágonos semelhantes, cujos lados homólogos medem
cm,
cm e um valor desconhecido
. Pede-se
de modo que a área do terceiro pentágono seja igual à soma das áreas dos dois primeiros. Para resolver, usamos a propriedade de figuras semelhantes: as áreas são proporcionais ao quadrado dos lados correspondentes.
Passo 2
Seja
a constante de proporcionalidade entre o quadrado de um lado e a área de qualquer um desses pentágonos. Então a área do primeiro pentágono é
e a área do segundo é
Passo 3
A área do terceiro pentágono,
, deve ser a soma de
e
. Logo,
Passo 4
Por semelhança, a área do terceiro pentágono também pode ser escrita em função de seu lado
como
Assim, igualamos as duas expressões de
:
Passo 5
Cancelando
(que é positivo) em ambos os lados, obtemos
(considere a raiz positiva, pois representa comprimento).
Resposta
O lado do terceiro pentágono mede
cm.