Dois lados homólogos de dois pentágonos semelhantes medem 6 cm e 8 cm , respectivamente. Determine o lado do terceiro pentágono semelhante aos dois primeiros, sabendo que sua área é igual à soma das áreas dos dois primeiros pentágonos.

Passo 1

O enunciado dá três pentágonos semelhantes, cujos lados homólogos medem 6 cm, 8 cm e um valor desconhecido x. Pede-se x de modo que a área do terceiro pentágono seja igual à soma das áreas dos dois primeiros. Para resolver, usamos a propriedade de figuras semelhantes: as áreas são proporcionais ao quadrado dos lados correspondentes.

Passo 2

Seja k a constante de proporcionalidade entre o quadrado de um lado e a área de qualquer um desses pentágonos. Então a área do primeiro pentágono é
A1 = k cdot 6^2 = 36k,
e a área do segundo é
A2 = k cdot 8^2 = 64k

Passo 3

A área do terceiro pentágono, A3, deve ser a soma de A1 e A2. Logo,
A3 = A1 + A2 = 36k + 64k = 100k

Passo 4

Por semelhança, a área do terceiro pentágono também pode ser escrita em função de seu lado x como
A3 = k cdot x^2
Assim, igualamos as duas expressões de A3:
k , x^2 = 100k

Passo 5

Cancelando k (que é positivo) em ambos os lados, obtemos
x^2 = 100 Longrightarrow x = 10
(considere a raiz positiva, pois representa comprimento).

Resposta

O lado do terceiro pentágono mede 10 cm.

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