1. Dois números naturais têm por soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Determine o maior dos dois números, sabendo-se que o produto deles é o maior possível.

Passo 1

O enunciado pede dois naturais x e y tais que
  1. x+y=96
  2. gcd(x,y)=12
  3. o produto xy seja o maior possível.
    Conteúdo: Teoria de divisores (propriedade do máximo divisor comum) e otimização discreta (maximização de produto sob soma fixa).

Passo 2

Como gcd(x,y)=12, escrevemos
x=12a, y=12b,
com gcd(a,b)=1 e a,binN^*.

Passo 3

Da soma x+y=96 vem
12a+12b=96 Longrightarrow a+b=8

Passo 4

Queremos maximizar
xy = (12a)(12b) = 144,ab
sob a+b=8 e gcd(a,b)=1. Como 144 é constante, basta maximizar ab. Em termos reais, ab sob a+b=8 atinge máximo em a=b=4, mas gcd(4,4)=4neq1, então não serve.

Passo 5

Testamos pares inteiros positivos (a,b) com a+b=8 e gcd(a,b)=1:
  • (1,7): ab=7, gcd(1,7)=1.
  • (2,6): gcd(2,6)=2 rejeitado.
  • (3,5): ab=15, gcd(3,5)=1.
  • (4,4): gcd(4,4)=4 rejeitado.
  • Simetricamente (5,3) igual a (3,5).
    O maior produto ocorre em (a,b)=(3,5) (ou simétrico), com ab=15.

Passo 6

Para (a,b)=(3,5) temos
x=12cdot3=36, y=12cdot5=60
O maior dos dois números é 60.

Resposta

60

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