- Dois números naturais têm por soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Determine o maior dos dois números, sabendo-se que o produto deles é o maior possível.
Passo 1
O enunciado pede dois naturais
e
tais que
-
-
- o produto
seja o maior possível.
Conteúdo: Teoria de divisores (propriedade do máximo divisor comum) e otimização discreta (maximização de produto sob soma fixa).
Passo 2
Como
, escrevemos
com
e
.
Passo 3
Da soma
vem
Passo 4
Queremos maximizar
sob
e
. Como
é constante, basta maximizar
. Em termos reais,
sob
atinge máximo em
, mas
, então não serve.
Passo 5
Testamos pares inteiros positivos
com
e
:
-
: , . -
: rejeitado. -
: , . -
: rejeitado. - Simetricamente
igual a .
O maior produto ocorre em(ou simétrico), com .
Passo 6
Para
temos
O maior dos dois números é
.