1. Se o mdc(a, b)=4, o mmc(a, b)=80 e a+b=36, então, o valor numérico da expressão 2 a-b, a>b, é:
    a) 24
    b) 16
    c) 20
    d) 36

Passo 1

O enunciado é da teoria de números e nos dá três informações sobre inteiros positivos a e b:
  1. gcd(a,b)=4.
  2. lcm(a,b)=80.
  3. a+b=36.
    Pede-se calcular a expressão 2a-b sob a condição a>b. Vamos usar a relação
    gcd(a,b)cdotlcm(a,b)=a,b
    e a ideia de dividir ambos por gcd(a,b) para simplificar.

Passo 2

Como gcd(a,b)=4, escrevemos
a=4A, b=4B, gcd(A,B)=1
Então da relação gcd(a,b)cdotlcm(a,b)=a,b segue
4cdot80 = (4A)(4B) Longrightarrow 320 = 16,A,B Longrightarrow A,B = 20
E da soma a+b=36 obtemos
4A + 4B = 36 Longrightarrow A + B = 9

Passo 3

Procuramos pares de inteiros positivos (A,B) com
A,B = 20, A + B = 9, gcd(A,B)=1
Os divisores de 20 que somam 9 são 4 e 5, e gcd(4,5)=1.

Passo 4

Como a>b implica 4A>4B e portanto A>B, escolhemos
A=5, B=4
Logo
a = 4A = 20, b = 4B = 16

Passo 5

Agora calculamos
2a - b = 2cdot20 - 16 = 40 - 16 = 24

Resposta

24 (alternativa a)

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