Dois planos paralelos à base de uma pirâmide dividem-na em três sólidos, que, considerados a partir do vértice da pirâmide, têm volumes diretamente proporcionais aos números 27, 98 e 91. Calcule as distâncias dos dois planos secantes ao da base, sabendo que a altura da pirâmide é igual a 12 cm .
Passo 1
O enunciado diz que dois planos paralelos à base dividem a pirâmide de altura
em três sólidos cujos volumes são proporcionais a
,
e
, contados do vértice para a base. Para encontrar as distâncias desses planos à base, vamos usar o fato de que, em cortes paralelos à base, o volume de uma pirâmide semelhante varia como o cubo da razão das alturas.
Passo 2
Seja
a altura medida do vértice até o primeiro plano. O volume do pequenino topo é
enquanto o volume total é
Pela semelhança,
Daí
, logo
.
Passo 3
Seja
a altura medida do vértice até o segundo plano. O volume acumulado até esse plano é
logo
Assim
, e
.
Passo 4
As distâncias dos planos até a base são
e
:
Resposta
Os planos distam
e
da base.