Dois planos paralelos à base de uma pirâmide dividem-na em três sólidos, que, considerados a partir do vértice da pirâmide, têm volumes diretamente proporcionais aos números 27, 98 e 91. Calcule as distâncias dos dois planos secantes ao da base, sabendo que a altura da pirâmide é igual a 12 cm .

Passo 1

O enunciado diz que dois planos paralelos à base dividem a pirâmide de altura H=12 cm em três sólidos cujos volumes são proporcionais a 27, 98 e 91, contados do vértice para a base. Para encontrar as distâncias desses planos à base, vamos usar o fato de que, em cortes paralelos à base, o volume de uma pirâmide semelhante varia como o cubo da razão das alturas.

Passo 2

Seja h1 a altura medida do vértice até o primeiro plano. O volume do pequenino topo é
V1 = kcdot27,
enquanto o volume total é
Vrm total = k,(27+98+91)=216k
Pela semelhança,
V1Vrm total = l(h1Hr)^3 Longrightarrow 27216 = l(h112r)^3 Longrightarrow 18 = l(h112r)^3
Daí tfrach112=tfrac12, logo h1=6 cm.

Passo 3

Seja h2 a altura medida do vértice até o segundo plano. O volume acumulado até esse plano é
V1+V2 = k,(27+98)=125k,
logo
V1+V2Vrm total =l(h2Hr)^3 Longrightarrow 125216 = l(h212r)^3
Assim tfrach212=tfrac56, e h2=12cdottfrac56=10 cm.

Passo 4

As distâncias dos planos até a base são H-h1 e H-h2:
d1 = 12 - 6 = 6 cm, d2 = 12 - 10 = 2 cm

Resposta

Os planos distam 6 cm e 2 cm da base.

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