Dois quadrados e têm em comum o lado . Traçamos as diagonais AC e EC.
Sendo AM=13 AC e EP=12 CE, com M em AC e P em CE, determine o segmento PM, em função do lado a dos quadrados.
Passo 1
O enunciado dá dois quadrados congruentes de lado a, A B C D e C D E F, que compartilham o lado C D. Traçamos as diagonais A C e C E. Definem-se M em A C tal que A M=tfrac13A C e P em C E tal que E P=tfrac12C E. A tarefa é calcular o comprimento do segmento P M em função de a. Vamos usar geometria analítica, atribuindo coordenadas adequadas aos vértices.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas: A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a) define o primeiro quadrado. O segundo quadrado C D E F fica “acima” de C D, logo E=(0,2a), F=(a,2a).
Passo 3
A diagonal A C vai de A=(0,0) a C=(a,a) e tem comprimento raiz2,a. Como A M=tfrac13A C, o ponto M está em
M = A + tfrac13(C - A) = l(tfraca3,,tfraca3r)
Passo 4
A diagonal C E vai de C=(a,a) a E=(0,2a) e também mede raiz2,a. Como E P=tfrac12,C E, o ponto P é
P = E + tfrac12l(C - Er) = l(0,2ar) + tfrac12l(a,-ar) = l(tfraca2,,tfrac3a2r)