Dois quadrados A B C D e C D E F têm em comum o lado C D. Traçamos as diagonais AC e EC.
Sendo AM=13 AC e EP=12 CE, com M em AC e P em CE, determine o segmento PM, em função do lado a dos quadrados.

Passo 1

O enunciado dá dois quadrados congruentes de lado a, A B C D e C D E F, que compartilham o lado C D. Traçamos as diagonais A C e C E. Definem-se M em A C tal que A M=tfrac13A C e P em C E tal que E P=tfrac12C E. A tarefa é calcular o comprimento do segmento P M em função de a. Vamos usar geometria analítica, atribuindo coordenadas adequadas aos vértices.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas:
A=(0,0), B=(a,0), C=(a,a), D=(0,a) define o primeiro quadrado. O segundo quadrado C D E F fica “acima” de C D, logo
E=(0,2a), F=(a,2a).

Passo 3

A diagonal A C vai de A=(0,0) a C=(a,a) e tem comprimento raiz2,a. Como A M=tfrac13A C, o ponto M está em
M = A + tfrac13(C - A) = l(tfraca3,,tfraca3r)

Passo 4

A diagonal C E vai de C=(a,a) a E=(0,2a) e também mede raiz2,a. Como E P=tfrac12,C E, o ponto P é
P = E + tfrac12l(C - Er) = l(0,2ar) + tfrac12l(a,-ar) = l(tfraca2,,tfrac3a2r)

Passo 5

O vetor M P tem componentes
l(xP - xM,;yP - yMr) = l(tfraca2-tfraca3,;tfrac3a2-tfraca3r) = l(tfraca6,;tfrac7a6r)
Assim, o comprimento de P M é
P M = raizl(tfraca6r)^2 + l(tfrac7a6r)^2 = tfraca6raiz1 + 49 = tfraca6cdot 5raiz2 = 5raiz26,a

Resposta

PM = 5raiz26,a

Exercícios de Livros Relacionados