Seja um semicírculo de diâmetro , e as tangentes e ao semicírculo. A tangente em um ponto , qualquer, da semicircunferência encontra em D e em E. Demonstre que:
Passo 1
Resumo do problema: temos um semicírculo de raio r com diâmetro AB=2r. As tangentes em A e em B são as retas AX e BY, respectivamente, e em qualquer ponto C da semicircunferência traçamos a tangente a ela, que cruza AX em D e BY em E. O que queremos mostrar é que
(CD)cdot(CE)=r^2
Para resolver isso, vamos usar coordenadas cartesianas, equação da reta tangente e uma parametrização da reta.
Passo 2
Colocamos o centro do círculo em O=(0,0), de modo que
A=(-r,0), B=(r,0),
e seja
C=(x,y),
com x^2+y^2=r^2 e y>0.
A reta tangente ao círculo em C tem equação obtida pela condição xC,x+yC,y=r^2, ou seja,
x,x0 + y,y0 = r^2,
onde (x0,y0)=(x,y).
As tangentes AX e BY são perpendiculares ao diâmetro AB (horizontal), logo são as retas verticais
em A:;x=-r, em B:;x= r
Passo 3
Para saber as coordenadas de D e E, substituímos x=-r e x=r na equação da tangente:
quando x=-r,
Em vez de medir distâncias de modo pesado, parametrizamos a reta tangente em C. Como o vetor OC=(x,y) é normal à reta tangente, um vetor diretor dela é (-y,x). Então pontos genéricos na reta são
P(t)=l(x - t,y,;y + t,xr),
e de fato cada P(t) satisfaz x0 X + y0 Y =r^2. Para achar D e E em termos de t, impomos:
x - t,y = -r Longrightarrow tD = x + ry,
x - t,y = r Longrightarrow tE = x - ry
Passo 5
Nesse parâmetro t, a distância de C a P(t) vale
CP(t)=l|t,(-y,x)r|=|t|raizy^2+x^2=r,|t|
Então
CD = r,|tD|, CE = r,|tE| Longrightarrow CDcdot CE = r^2,|tD,tE|
Passo 6
Basta calcular
tD,tE =x+ry;x-ry =x^2-r^2y^2 =r^2-r^2-y^2y^2 =-1,
já que x^2+y^2=r^2. Logo |tD,tE|=1 e finalmente
CDcdot CE = r^2
Resposta
(CD)cdot(CE)=r^2.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 593