Pelo vértice de um quadrado ABCD de lado a, toma-se no interior do quadrado um segmento BS que forma um ângulo igual a 30^circ com BA, com S em AD. Determine AS e BS .

Passo 1

O enunciado dá um quadrado ABCD de lado a e um ponto S em AD tal que o segmento BS faz um ângulo de 30^circ com BA. Para encontrar AS e BS vamos analisar o triângulo ABS usando trigonometria.

Passo 2

Como ABperp AD e S está em AD, o triângulo ABS é retângulo em A. Assim,
ang<= BAS = 90^circ,
e foi dado
ang<= ABS = 30^circ
Consequentemente, o ângulo em S vale 60^circ.

Passo 3

No triângulo retângulo em A, a definição de tangente no ângulo de 30^circ é
tan(30^circ) = ASAB
Como AB = a e tan(30^circ)=tfrac1raiz3, segue
AS = a cdot 1raiz3 = araiz3

Passo 4

Ainda no triângulo retângulo, para obter BS (hipotenusa) usamos o cosseno de 30^circ:
cos(30^circ) = ABBS Longrightarrow BS = ABcos(30^circ) = araiz32 = 2araiz3

Resposta

AS = araiz3, BS = 2araiz3

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