(UE-PB) Se os dois sistemas lineares l2 x-y=0 x+y=3 e lm x+n y=-1 m x-n y=1 são equivalentes, os valores de m e n são, respectivamente:
a) 12 e-1
b) 0 e 12
c) 12 e 1
d) 0 e -12
e) 1 e-2

Passo 1

O enunciado dá dois sistemas lineares
2x - y = 0, x + y = 3
e
m x + n y = -1, m x - n y = 1,
e pede os valores de m e n para que os dois sistemas sejam equivalentes (isto é, tenham a mesma solução única). A ideia é: primeiro achamos (x,y) resolvendo o primeiro sistema e depois impomos que esse par satisfaça o segundo.

Passo 2

Resolvendo
2x - y = 0, x + y = 3
da primeira equação vem y = 2x. Substituindo na segunda:
x + 2x = 3 Longrightarrow 3x = 3 Longrightarrow x = 1,
logo y = 2.

Passo 3

Agora exigimos que (x,y)=(1,2) satisfaça o segundo sistema, gerando:
mcdot1 + ncdot2 = -1 e mcdot1 - ncdot2 = 1
Ou seja,
m + 2n = -1, m - 2n = 1

Passo 4

Somando as duas equações:
(m+2n)+(m-2n)=(-1)+1 Longrightarrow 2m=0 Longrightarrow m=0
Substituindo m=0 em m+2n=-1
2n=-1 Longrightarrow n=-tfrac12

Resposta

(d) m=0 e n=-tfrac12.

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