(FGV-SP) Sendo A=[ll1 & 1 0 & 1] e B=[r170 10], a matriz X=[lx y] na equação A^16 cdot X=B será:
a) [l5 5]
b) [r0 10]
c) [r10 5]
d) [l10 10]
e) [r5 10]

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1, B = 170 [3pt] 10
e pede X tal que
A^16 ,X = B
O conteúdo aqui é potência de matrizes triangulares e depois resolver o sistema linear resultante.]

Passo 2

Repare que
A = I + N,
once
N = 0 & 1 [3pt] 0 & 0
e N^2 = 0. Pelo binômio de Newton para matrizes (ou pela expansão de (I+N)^n quando N^2=0), temos
A^n = (I+N)^n = I + n,N ]

Passo 3

Aplicando isso a n=16, obtém-se
A^16 = I + 16,N = 1 & 0 [3pt] 0 & 1 + 160 & 1 [3pt] 0 & 0 = 1 & 16 [3pt] 0 & 1 ]

Passo 4

Escrevendo
gera o sistema
Da segunda equação vem (y=10]. Substituindo na primeira:
]

Resposta

X = 10 [3pt] 10,
ou seja, alternativa (d).]

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