Dois troncos de cone, T1 e T2, têm uma base comum de raio igual a 8 cm , sendo as outras bases círculos concêntricos. Sabendo que o raio da base maior de T1 é igual a 14 cm e o volume de T1 é o triplo do volume de T2, determine a razão entre as áreas das bases não comuns dos troncos T2 e T1, nessa ordem.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois troncos de cone T1 e T2 que compartilham uma base de raio 8. Em T1, a outra base tem raio 14; em T2, chamaremos de r o raio da sua outra base (também concêntrica). O volume de T1 é o triplo do volume de T2.
Conteúdo: volume de tronco de cone e sistemas algébricos.
Para cada tronco de base maior R, base menor r e altura h vale
V=pi,h3l(R^2+Rr+r^2r)

Passo 2

Assumimos que os dois troncos têm a mesma altura h (pois são gerados por planos paralelos à mesma distância). Então
V1 =pi,h3l(14^2+14cdot8+8^2r) e V2 =pi,h3l(r^2+8,r+8^2r)
Como V1=3,V2, podemos cancelar tfracpi h3 e escrever
14^2+14cdot8+8^2 ;=;3l(r^2+8r+8^2r)

Passo 3

Calculemos 14^2+14cdot8+8^2:
14^2+14cdot8+8^2=196+112+64=372
Logo a equação fica
372=3l(r^2+8r+64r) ;Longrightarrow; r^2+8r+64=3723=124
Isto leva a
r^2+8r+64-124=0 Longrightarrow r^2+8r-60=0

Passo 4

Resolvendo r^2+8r-60=0 pelo discriminante:
De<a=8^2-4cdot1cdot(-60)=64+240=304,
r=-8pmraiz3042=-4pm2raiz19
Como buscamos r>0, temos
r=-4+2raiz19

Passo 5

A razão pedida é a razão entre as áreas das bases “não comuns” de T2 e de T1. Essas áreas são pi r^2 e pi,(14)^2, logo
áreaT2áreaT1 =pi,r^2pi,(14)^2 =r^2196 =(-4+2raiz19)^2196 áá
Calculando o quadrado:
(-4+2raiz19)^2=16-16raiz19+4cdot19=16-16raiz19+76=92-16raiz19,
portanto
r^2196 =92-16raiz19196 =46-8raiz1998 =23-4raiz1949

Resposta

23-4raiz1949

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