Dois troncos de cone,
e
, têm uma base comum de raio igual a 8 cm , sendo as outras bases círculos concêntricos. Sabendo que o raio da base maior de
é igual a 14 cm e o volume de
é o triplo do volume de
, determine a razão entre as áreas das bases não comuns dos troncos
e
, nessa ordem.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos dois troncos de cone
e
que compartilham uma base de raio
. Em
, a outra base tem raio
; em
, chamaremos de
o raio da sua outra base (também concêntrica). O volume de
é o triplo do volume de
.
Conteúdo: volume de tronco de cone e sistemas algébricos.
Para cada tronco de base maior , base menor
e altura
vale
Conteúdo: volume de tronco de cone e sistemas algébricos.
Para cada tronco de base maior
Passo 2
Assumimos que os dois troncos têm a mesma altura
(pois são gerados por planos paralelos à mesma distância). Então
Como
, podemos cancelar
e escrever
Passo 3
Calculemos
:
Logo a equação fica
Isto leva a
Passo 4
Resolvendo
pelo discriminante:
Como buscamos
, temos
Passo 5
A razão pedida é a razão entre as áreas das bases “não comuns” de
e de
. Essas áreas são
e
, logo
Calculando o quadrado:
portanto