Quando uma dose de 0,3 mg / ml de certo remédio é administrada por via intravenosa em um paciente, a concentração de remédio ( em mg / ml ) em sua corrente sanguínea é regida pela função
C(t)=0,3 cdot 2^-t / 5
em que t é o tempo, em horas, transcorrido desde a administração da droga. Determine em que intervalo de tempo a concentração de remédio no sangue é maior ou igual a 0,15 e menor ou igual a 0,2 mg / ml.

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração do remédio em função do tempo
C(t)=0,3cdot2^-t/5,
onde t é dado em horas, e pede em que intervalo de tempo temos
0,15 <= C(t)<= 0,2
O conteúdo usado será resolução de inequações exponenciais e propriedades de funções decrescentes.

Passo 2

Primeiro dividimos toda a desigualdade por 0,3 (positivo), obtendo
0,150,3<= 2^-t/5<= 0,20,3 Longrightarrow 0,5 <= 2^-t/5 <= tfrac23

Passo 3

Como 2^-t/5 é decrescente em t, cada desigualdade inverte sinal ao passarmos para t. Encontramos os pontos extremos resolvendo as igualdades:
2^-t/5 = tfrac23 Longrightarrow -tfract5 = log2!l(tfrac23r) Longrightarrow t = -5,log2!l(tfrac23r) = 5,log2!l(tfrac32r)
2^-t/5 = 0,5 = 2^-1 Longrightarrow -tfract5 = -1 Longrightarrow t = 5

Passo 4

Da primeira igualdade vem a condição t >= 5,log2(tfrac32), e da segunda t <= 5. Logo
t in l[,5,log2!l(tfrac32r),;5,r]
Aproximando log2(3/2)=tfracln(3/2)ln2approx0,585, obtemos
t approx [,2,93,;5,00] horas

Resposta

t in l[,5,log2!l(tfrac32r),;5,r]approx [2,93,;5,00] horas

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