(EFOMM-21) Considere uma equação definida por:
\operatorname{det}\left|\begin{array}{ccc}\log x & \log x^{4} & \log x^{16} \\\\ 4^{x} & 16^{x} & 64^{x} \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right|=0, \forall x>0
Sabendo que a solução da equação acima é o número de elementos de um conjunto A, é correto afirmar que o número de subconjuntos que se pode formar com esse conjunto é igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\det\begin{vmatrix} \log x & \log x^{4} & \log x^{16} \\\\ 4^{x} & 16^{x} & 64^{x} \\\\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=0, \quad x>0,
identificar quantas soluções ela tem (isso é o número de elementos de um conjunto A) e em seguida calcular o número de subconjuntos de A. Para isso vamos usar propriedades de determinante, logaritmo e potências.

Passo 2

Expandindo o determinante pela terceira linha (único elemento não nulo é 2 na coluna 3), obtemos
\det =2\;\det \begin{pmatrix} \log x & \log x^{4}\\\\ 4^{x} & 16^{x} \end{pmatrix}.
Logo a equação \det=0 equivale a
\det \begin{pmatrix} \log x & \log x^{4}\\\\ 4^{x} & 16^{x} \end{pmatrix}=0.

Passo 3

Calculamos o determinante 2\times2:
\det_{2\times2} =(\log x)\,(16^{x})-(\log x^{4})\,(4^{x}).
Como \log x^{4}=4\log x, isso fica
\det_{2\times2} =\log x\;\bigl(16^{x}-4\cdot4^{x}\bigr) =\log x\;\bigl(4^{2x}-4\cdot4^{x}\bigr) =\log x\;4^{x}\bigl(4^{x}-4\bigr).
Para x>0, 4^{x}>0, então as raízes vêm de
\log x=0 \quad\text{ou}\quad 4^{x}-4=0.
Em ambos os casos a única solução é
x=1.

Passo 4

Concluímos que a equação tem exatamente uma solução, isto é, \lvert A\rvert=1. O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2^{n}. Portanto, para n=1 temos
2^{1}=2.

Resposta

2
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