Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
a) 1 /(1-2 x)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} na série de potência da função
\frac{1}{1-2x}.
O conteúdo principal aqui é a expansão em série geométrica, que nos permite escrever 1/(1-r) como soma de potências em r.

Passo 2

Lembrando que, para \lvert r\rvert<1, temos a série geométrica
\frac{1}{1-r} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} r^n.

Passo 3

No nosso caso, basta identificar r=2x. Logo, podemos escrever
\frac{1}{1-2x} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} (2x)^n.

Passo 4

Repare que (2x)^n = 2^n\,x^n, então o coeficiente de x^n nessa expansão é exatamente 2^n.

Passo 5

Portanto, para n=10, o coeficiente de x^{10} é
2^{10} \;=\; 1024.

Resposta

1024

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