Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
b) 1 /(1+x)^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função \frac{1}{(1+x)^2} e pede o coeficiente de x^{10} em sua série de potências. Vamos usar o Teorema Binomial Generalizado.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial Generalizado, temos
(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n}x^n,
para |x|<1. No nosso caso, \alpha=-2, logo
\frac{1}{(1+x)^2} = (1+x)^{-2} = \sum_{n=0}^\infty \binom{-2}{n}x^n.

Passo 3

Calculamos \binom{-2}{n}:
\binom{-2}{n} = \frac{(-2)(-3)\cdots(-2-n+1)}{n!} = \frac{(-1)^n\,(2\cdot3\cdots(n+1))}{n!} = (-1)^n\frac{(n+1)!}{n!} = (-1)^n(n+1).

Passo 4

Portanto, o coeficiente geral de x^n é
\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1).
Em particular, para n=10:
a_{10} = (-1)^{10}(10+1) = 11.

Resposta

11

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