Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
e) x^{4} /(1-3 x)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} na expansão em série de potência da função
\frac{x^{4}}{(1 - 3x)^{3}}.
O conteúdo principal aqui é a expansão binomial para (1 - t)^{-k}.

Passo 2

Recordamos a fórmula do binômio generalizado:
(1 - t)^{-k} \;=\; \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n + k - 1}{n}\,t^n.

Passo 3

Aplicando com t = 3x e k = 3, obtemos
(1 - 3x)^{-3} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{n}\,(3x)^n =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}\,3^n\,x^n.

Passo 4

Multiplicando por x^4, a série fica
\frac{x^4}{(1 - 3x)^{3}} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2}\,3^n\,x^{n+4}.
Para que n+4 = 10, precisamos de n = 6. Logo, o coeficiente de x^{10} é \displaystyle \binom{6+2}{2}\,3^6.

Passo 5

Calculamos
\binom{8}{2} = 28, \qquad 3^6 = 729,
então
28 \times 729 = 20\,412.

Resposta

O coeficiente de x^{10} em \dfrac{x^{4}}{(1 - 3x)^{3}} é 20\,412.

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