Encontre o coeficiente de x^{10} nas séries de potência para cada uma das funções abaixo.
\left(x+x^{4}+x^{7}+x^{10}+\cdots\right)\left(x^{2}+x^{4}+x^{6}+x^{8}+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de x^{10} no produto das séries de potências
\bigl(x + x^4 + x^7 + x^{10} + \cdots\bigr)\,\bigl(x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + \cdots\bigr).
O conteúdo aqui é manipulação de séries de potências e extração de coeficiente por contagem de expoentes.

Passo 2

Repare que
x + x^4 + x^7 + x^{10} + \cdots = \sum_{i=0}^{\infty} x^{1+3i},
x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + \cdots = \sum_{j=1}^{\infty} x^{2j}.
No produto o termo geral é
x^{1+3i}\cdot x^{2j} = x^{\,1+3i+2j}.
Queremos contar pares (i,j) tais que
1 + 3i + 2j = 10,
com i\ge0 inteiro e j\ge1 inteiro.

Passo 3

Da equação 1+3i+2j=10 segue
3i + 2j = 9 \quad\Longrightarrow\quad 2j = 9 - 3i.
Como 2j é par, 9-3i deve ser par, logo i é ímpar. Testando valores:
  • Para i=1: 2j = 9-3 = 6 j=3\ge1, válido.
  • Para i=3: 2j = 9-9 = 0 j=0, inválido pois j\ge1.
  • Valores maiores de i tornam 2j negativo.
    Há, portanto, exatamente uma solução inteira válida (i,j)=(1,3).

Resposta

O coeficiente de x^{10} é 1.

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