Encontre as expansões em somas de produtos da função booleana
que tem o valor 1 se e somente se três ou mais das variáveis
e
têm o valor 1 .
Passo 1
O enunciado define a função booleana
que vale 1 se e somente se pelo menos três das entradas são iguais a 1.
Conteúdo: expansão em soma de produtos (SOP). Vamos primeiro achar a forma canônica (soma de todos os mintermos onde ) e depois a forma simplificada mínima.
Conteúdo: expansão em soma de produtos (SOP). Vamos primeiro achar a forma canônica (soma de todos os mintermos onde
Passo 2
Para a forma canônica, identificamos todos os mintermos de peso 3, 4 ou 5 (isto é, todas as combinações de entradas com 3, 4 ou 5 uns).
Peso 3 ( casos):
(1,2,3)→ , (1,2,4)→
, (1,2,5)→
, (1,3,4)→
, (1,3,5)→
, (1,4,5)→
, (2,3,4)→
, (2,3,5)→
, (2,4,5)→
, (3,4,5)→
.
Peso 4 ( casos):
(2,3,4,5)→ , (1,3,4,5)→
, (1,2,4,5)→
, (1,2,3,5)→
, (1,2,3,4)→
.
Peso 5: (1,2,3,4,5)→ .
Peso 3 (
(1,2,3)→
Peso 4 (
(2,3,4,5)→
Peso 5: (1,2,3,4,5)→
Passo 3
A forma canônica em soma de mintermos é
Em termos de produtos de literais, isso corresponde a listar cada mintermo, por exemplo
Passo 4
Para simplificar, note que qualquer combinação de 4 ou 5 uns já faz com que algum produto de 3 variáveis seja 1. Logo a expressão mínima é a soma de todos os produtos de três variáveis distintas:
Isto cobre exatamente todos os casos em que há pelo menos três entradas iguais a 1.
Resposta
Forma canônica (SOP de mintermos):
Forma mínima (SOP simplificada):