Encontre a fórmula de Taylor de cada função, no ponto P_{0} indicado, até os termos de terceira ordem.
f(x, y)=e^{y} \cos x, P_{0}=(\pi, 0)_{y}

Passo 1

Estamos querendo a expansão de Taylor de ordem até três da função
f(x,y)=e^{y}\cos x
em torno do ponto P_{0}=(\pi,0).
O conteúdo envolvido é a fórmula de Taylor para funções de duas variáveis, que exige calcular derivadas parciais até a terceira ordem em P_{0} e depois aplicar a expressão geral da série.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem e avaliamos em P_{0}.
\begin{aligned} f(\pi,0)&=e^{0}\cos\pi=-1,\\\ f_{x}(x,y)&=-e^{y}\sin x\quad\Longrightarrow\quad f_{x}(\pi,0)=0,\\\ f_{y}(x,y)&=e^{y}\cos x\quad\Longrightarrow\quad f_{y}(\pi,0)=-1,\\\ f_{xx}(x,y)&=-e^{y}\cos x\quad\Longrightarrow\quad f_{xx}(\pi,0)=1,\\\ f_{xy}(x,y)&=-e^{y}\sin x\quad\Longrightarrow\quad f_{xy}(\pi,0)=0,\\\ f_{yy}(x,y)&=e^{y}\cos x\quad\Longrightarrow\quad f_{yy}(\pi,0)=-1. \end{aligned}

Passo 3

Agora as derivadas de terceira ordem avaliadas em P_{0}:
f_{xxx}(\pi,0)=0,\quad f_{xxy}(\pi,0)=1,\quad f_{xyy}(\pi,0)=0,\quad f_{yyy}(\pi,0)=-1.

Passo 4

A fórmula de Taylor de ordem três para função de duas variáveis, com \Delta x=x-\pi e \Delta y=y-0=y, é
\begin{aligned} f(x,y)&=f_{0}+f_{x}\,\Delta x+f_{y}\,\Delta y +\frac12\bigl(f_{xx}(\Delta x)^{2}+2f_{xy}\,\Delta x\,\Delta y+f_{yy}(\Delta y)^{2}\bigr)\\\ &\quad+\frac1{6}\bigl(f_{xxx}(\Delta x)^{3}+3f_{xxy}(\Delta x)^{2}\Delta y +3f_{xyy}\,\Delta x(\Delta y)^{2}+f_{yyy}(\Delta y)^{3}\bigr)+\cdots \end{aligned}
Substituindo os valores em P_{0} obtemos
\begin{aligned} f(x,y)&\approx -1 + 0\cdot\Delta x +(-1)\cdot\Delta y +\frac12\bigl(1\cdot(\Delta x)^2+0-1\cdot(\Delta y)^2\bigr)\\\ &\quad+\frac1{6}\bigl(0+3\cdot1\cdot(\Delta x)^2\Delta y+0+(-1)\cdot(\Delta y)^3\bigr)\\\ &= -1 -y+\frac12(x-\pi)^2-\frac12y^2+\frac12(x-\pi)^2y-\frac16y^3. \end{aligned}

Resposta

\boxed{ f(x,y)\approx -1 - y + \tfrac12\,(x-\pi)^{2} - \tfrac12\,y^{2} + \tfrac12\,(x-\pi)^{2}y - \tfrac16\,y^{3}. }

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