Encontre o quociente q(x) e o resto r(x) que resulta da divisão de p(x) por s(x).
p(x)=2 x^{5}+5 x^{4}-4 x^{3}+8 x^{2}+1 ; s(x)=2 x^{2}-x+1

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio
p(x)=2x^{5}+5x^{4}-4x^{3}+8x^{2}+1
pelo divisor
s(x)=2x^{2}-x+1,
obtendo o quociente q(x) e o resto r(x). Como \deg p=5 e \deg s=2, o quociente terá grau 3 e o resto, grau menor que 2. Vamos aplicar divisão longa de polinômios.

Passo 2

Primeira iteração: dividimos o termo de maior grau de p, que é 2x^5, pelo termo líder de s, que é 2x^2.
\frac{2x^5}{2x^2}=x^3.
Multiplicamos x^3 pelo divisor e subtraímos de p(x):
x^3\,(2x^2 - x + 1) = 2x^5 - x^4 + x^3
\bigl(2x^5+5x^4-4x^3\bigr)-\bigl(2x^5 - x^4 + x^3\bigr) =6x^4 -5x^3.
Baixamos os termos restantes +8x^2+0x+1, ficando o polinômio intermediário
6x^4 -5x^3 +8x^2 +0x +1.

Passo 3

Segunda iteração: dividimos 6x^4 por 2x^2.
\frac{6x^4}{2x^2}=3x^2.
Multiplicamos 3x^2 pelo divisor e subtraímos:
3x^2\,(2x^2 - x + 1) = 6x^4 -3x^3 +3x^2
\bigl(6x^4 -5x^3 +8x^2\bigr) -\bigl(6x^4 -3x^3 +3x^2\bigr) = -2x^3 +5x^2.
Baixamos 0x+1, resultando
-2x^3 +5x^2 +0x +1.

Passo 4

Terceira iteração: dividimos -2x^3 por 2x^2.
\frac{-2x^3}{2x^2} = -x.
Multiplicamos -x pelo divisor e subtraímos:
(-x)\,(2x^2 - x +1)= -2x^3 + x^2 - x
\bigl(-2x^3+5x^2+0x\bigr) -\bigl(-2x^3 + x^2 - x\bigr) =4x^2 +x.
Baixamos o termo constante +1, ficando
4x^2 + x +1.

Passo 5

Quarta iteração: dividimos 4x^2 por 2x^2.
\frac{4x^2}{2x^2}=2.
Multiplicamos 2 pelo divisor e subtraímos para obter o resto:
2\,(2x^2 - x +1)=4x^2 -2x +2
\bigl(4x^2 + x +1\bigr) -\bigl(4x^2 -2x +2\bigr) =3x -1.
Como agora o grau de 3x-1 é menor que o de s(x), esta é a divisão completa.

Resposta

q(x)=x^{3}+3x^{2}-x+2 r(x)=3x-1

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