Encontre uma representação da função
f(z)=11+z=1z cdot 11+(1 / z)
em potências negativas de z que seja válida com 1<|z|<infty.
Resposta: sumn=1^infty (-1)^n+1z^n

Passo 1

O enunciado pede a expansão de
f(z)=11+z
em potências negativas de z, válida para 1<|z|<infty. O truque é reescrever f de modo a usar a série geométrica em w=1/z, cuja condição de convergência é |w|<1, isto é |z|>1.

Passo 2

Reescrevendo
f(z)=11+z =1z,11+(1/z)
vemos que basta expandir 1/(1+1/z) em potências de 1/z.

Passo 3

Aplicando a série geométrica
11+1/z =sumk=0^inftyl(-tfrac1zr)^k =sumk=0^infty(-1)^k,z^-k,
válida quando lvert1/zrvert<1, ou seja lvert zrvert>1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator 1/z temos
f(z) =1zsumk=0^infty(-1)^kz^-k =sumk=0^infty(-1)^kz^-(k+1)
Fazendo a troca de índice n=k+1 isso vira
sumn=1^infty(-1)^,n-1z^-n ;=;sumn=1^infty(-1)^n+1z^n

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n+1z^n

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