(a) Seja a algum número real tal que -1<a<1. Deduza a representação em série de Laurent
az-a=sumn=1^infty a^nz^n (|a|<|z|<infty)
(b) Escrevendo z=e^i theta na equação obtida na parte (a), iguale as partes reais e, depois, as imaginárias de cada lado da equação para deduzir as fórmulas das somas
& sumn=1^infty a^n cos n theta=a cos theta-a^21-2 a cos theta+a^2 e sumn=1^infty a^n sen n theta=a sen theta1-2 a cos theta+a^2, & se -1<a<1 (Compare com o Exercício 4 da Seção 61) íçã

Passo 1

O enunciado pede, em (a), que a gente mostre que, para -1<a<1 e |z|>|a|,
az-a=sumn=1^inftya^nz^n,
ou seja, é conteúdo de desenvolver uma função em série de Laurent válida em |z|>|a|. Em (b), substituímos z=e^itheta nessa série, escrevemos
sumn=1^inftya^ne^-intheta=sumn=1^inftya^ncos ntheta - isumn=1^inftya^nsin ntheta
e igualamos às partes real e imaginária de ae^itheta-a para obter as somas de cossenos e senos.

Passo 2

Começamos por isolar um fator 1/z em az-a. Note que
az-a = a;1z;11-az
Como l|azr|<1, podemos usar a série geométrica
11-w=sumk=0^infty w^k, |w|<1,
com w=tfracaz.

Passo 3

Aplicando a expansão geométrica, obtemos
az-a = a;1zsumk=0^inftyl(azr)^k = sumk=0^inftya^k+1z^k+1 = sumn=1^inftya^nz^n,
o que resolve a parte (a).

Passo 4

Para (b), ponha z=e^itheta. Então a série vira
sumn=1^inftya^n(e^itheta)^n =sumn=1^infty a^n e^-intheta
e pela parte (a) isso vale
ae^itheta-a
Denotemos
S=sumn=1^infty a^n e^-intheta ;=;ae^itheta-a

Passo 5

Para separar em real e imaginário, racionalizamos o denominador:
ae^itheta-a =a,(e^-itheta-a)(e^itheta-a)(e^-itheta-a) =a,(e^-itheta-a)1-2acostheta +a^2
Expandindo o numerador:
a,(e^-itheta-a) = acostheta -i,asintheta -a^2
Logo
S =acostheta -a^21-2acostheta +a^2 ;-;i,asintheta1-2acostheta +a^2

Passo 6

Por outro lado,
S=sumn=1^infty a^n e^-intheta =sumn=1^infty a^ncos ntheta ;-;isumn=1^infty a^nsin ntheta
Comparando parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária de S, obtemos
sumn=1^infty a^ncos ntheta =acostheta -a^21-2acostheta +a^2,
sumn=1^infty a^nsin ntheta =asintheta1-2acostheta +a^2

Resposta

sumn=1^inftya^ncos ntheta =acostheta -a^21-2acostheta +a^2, sumn=1^inftya^nsin ntheta =asintheta1-2acostheta +a^2

Exercícios de Livros Relacionados