(a) Seja f(z) uma função analítica em algum domínio anelar centrado na origem que contenha o círculo unitário z=e^i phi(-pi <= phi <= pi). Tomando esse círculo como o caminho de integração nas expressões dos coeficientes an e bn de uma série de Laurent em potências de z dadas em (2) da Seção 66, mostre que
f(z)=12 pi integral-pi^pi f(e^i phi) d phi+12 pi sumn=1^infty integral-pi^pi f(e^i phi)[(ze^i phi)^n+(e^i phiz)^n] d phi em que z é um ponto qualquer do domínio anelar.
(b) Escreva z e mostre que, da expansão na parte (a), decorre que
Jn(z)
Essa é uma das formas da expansão em série de Fourier da função real u(theta)=Re[f(e^i theta)] no intervalo u(theta)=12 pi integral-pi^pi u(phi) d phi+1pi sumn=1^infty integral-pi^pi u(phi) cos [n(theta-phi)] d phi . Uma função u(theta) também pode ser representada por uma série de Fourier com exigências mais brandas.*

    • A transformada -pi <= theta <= pi surge no estudo de sistemas lineares discretos. Ver, por exemplo, o livro de Oppenheim, Schafer e Buck listado no Apêndice 1.
      ** Esses coeficientes u(theta), denominados funções de Bessel de primeira espécie, desempenham um papel importante em certas áreas da Matemática Aplicada. Ver, por exemplo, o Capítulo 9 do livro dos autores Fourier Series and Boundary Value Problems, 8th ed., 2012.

Passo 1

O enunciado pede que, para uma função analítica f(z) num anel contendo o círculo unitário z=e^iphicolon -pi<=phi<=pi, a gente expresse f(z) em função de integrais sobre esse círculo. Para isso vamos usar a expansão de Laurent e as fórmulas de Cauchy para os coeficientes.

Passo 2

Pelo teorema de Laurent, para todo z no anel temos
f(z)=sumn=0^inftyanz^n+sumn=1^inftybnz^-n,
em que os coeficientes vêm de
an=12pi ioint|w|=1f(w)w^n+1,dw, bn=12pi ioint|w|=1f(w),w^,n-1,dw

Passo 3

Parametrizamos o contorno w=e^iphi, de phi=-pi a pi. Então dw=i,e^iphidphi e
an =12pi iintegral-pi^pif(e^iphi)e^i(n+1)phi,i,e^iphidphi =12piintegral-pi^pif(e^iphi),e^-i nphi,dphi,
bn =12pi iintegral-pi^pif(e^iphi),e^i(n-1)phi,i,e^iphidphi =12piintegral-pi^pif(e^iphi),e^i nphi,dphi

Passo 4

Substituindo essas fórmulas em f(z) e trocando soma e integral (já que a série converge uniformemente no anel), obtemos
f(z) =12piintegral-pi^pif(e^iphi),dphi +12pisumn=1^inftyintegral-pi^pif(e^iphi) l[l(tfracze^iphir)^n+l(tfrace^iphizr)^nr] ,dphi
Isso conclui a parte (a).

Passo 5

Para a parte (b), definimos
u(theta)=Rel[f(e^itheta)r]
Tomamos z=e^itheta na expressão de (a) e aplicamos parte real em ambos os lados. Notamos que
tfracze^iphi=e^i(theta-phi) e
tfrace^iphiz=e^-i(theta-phi), e que
Ref(e^iphi)e^i n(theta-phi)+Ref(e^iphi)e^-i n(theta-phi) =2,u(phi)cosl[n(theta-phi)r]
Logo surge
u(theta) =12piintegral-pi^piu(phi),dphi +1pisumn=1^inftyintegral-pi^piu(phi)cosl[n(theta-phi)r],dphi,
que é exatamente a expansão de Fourier de u(theta).

Resposta

(a)
f(z) =12piintegral-pi^pif(e^iphi),dphi +12pisumn=1^inftyintegral-pi^pif(e^iphi) l[l(tfracze^iphir)^n+l(tfrace^iphizr)^nr] ,dphi
(b)
u(theta) =12piintegral-pi^piu(phi),dphi +1pisumn=1^inftyintegral-pi^piu(phi)cosl[n(theta-phi)r],dphi

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