(a) Seja
uma função analítica em algum domínio anelar centrado na origem que contenha o círculo unitário
. Tomando esse círculo como o caminho de integração nas expressões dos coeficientes
e
de uma série de Laurent em potências de
dadas em (2) da Seção 66, mostre que
em que
é um ponto qualquer do domínio anelar.
(b) Escreva
e mostre que, da expansão na parte (a), decorre que
Essa é uma das formas da expansão em série de Fourier da função real
no intervalo
. Uma função
também pode ser representada por uma série de Fourier com exigências mais brandas.*
- A transformada
surge no estudo de sistemas lineares discretos. Ver, por exemplo, o livro de Oppenheim, Schafer e Buck listado no Apêndice 1.
** Esses coeficientes
, denominados funções de Bessel de primeira espécie, desempenham um papel importante em certas áreas da Matemática Aplicada. Ver, por exemplo, o Capítulo 9 do livro dos autores Fourier Series and Boundary Value Problems, 8th ed., 2012.
- A transformada
surge no estudo de sistemas lineares discretos. Ver, por exemplo, o livro de Oppenheim, Schafer e Buck listado no Apêndice 1.
** Esses coeficientes, denominados funções de Bessel de primeira espécie, desempenham um papel importante em certas áreas da Matemática Aplicada. Ver, por exemplo, o Capítulo 9 do livro dos autores Fourier Series and Boundary Value Problems, 8th ed., 2012.
- A transformada
Passo 1
O enunciado pede que, para uma função analítica
num anel contendo o círculo unitário
, a gente expresse
em função de integrais sobre esse círculo. Para isso vamos usar a expansão de Laurent e as fórmulas de Cauchy para os coeficientes.
Passo 2
Pelo teorema de Laurent, para todo
no anel temos
em que os coeficientes vêm de
Passo 3
Parametrizamos o contorno
, de
a
. Então
e
Passo 4
Substituindo essas fórmulas em
e trocando soma e integral (já que a série converge uniformemente no anel), obtemos
Isso conclui a parte (a).
Passo 5
Para a parte (b), definimos
Tomamos
na expressão de (a) e aplicamos parte real em ambos os lados. Notamos que
e
, e que
Logo surge
que é exatamente a expansão de Fourier de
.
Resposta
(a)
(b)