Obtenha duas expansões em série de Laurent com potências de z da função
f(z)=1z^2(1-z)
e determine as regiões de validade dessas expansões.
Resposta: sumn=0^infty z^n+1z+1z^2 (0<|z|<1) ; -sumn=3^infty 1z^n (1<|z|<infty).

Passo 1

O enunciado pede as expansões em série de Laurent de
f(z)=1z^2(1-z)
em torno de z=0, válidas em duas faixas: 0<|z|<1 e 1<|z|<infty. Como temos um polo de ordem 2 em z=0 e um polo simples em z=1, vamos usar séries geométricas para 1/(1-z) quando |z|<1 e para 1/(1-1/z) quando |z|>1.

Passo 2

Para |z|<1 usamos a expansão geométrica
11-z=sumn=0^inftyz^n
Logo
f(z)=1z^2;11-z =1z^2sumn=0^inftyz^n =sumn=0^inftyz^n-2
Separando os termos de potências negativas e não-negativas, obtemos
sumn=0^inftyz^n-2 =z^-2+z^-1+summ=0^inftyz^m
Isso vale precisamente para 0<|z|<1.

Passo 3

Para |z|>1 escrevemos
11-z=-1z,11-1/z =-1zsumk=0^infty1z^k =-sumk=0^infty1z^k+1,
válido quando |1/z|<1. Então
f(z)=1z^2;l(-sumk=0^infty1z^k+1r) =-sumk=0^infty1z^k+3 =-sumn=3^infty1z^n,
válido em 1<|z|<infty.

Resposta

Para 0<|z|<1:
f(z)=sumn=0^inftyz^n+1z+1z^2
Para 1<|z|<infty:
f(z)=-sumn=3^infty1z^n

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