Encontre a série de Laurent que representa a função
f(z)=z^2 sen(1z^2)
no domínio 0<|z|<infty.
Resposta: 1+sumn=1^infty (-1)^n(2 n+1)! cdot 1z^4 n

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de
f(z)=z^2sen!l(tfrac1z^2r)
no domínio 0<|z|<infty.
Conteúdo necessário: usar a expansão em série de Maclaurin de sen(w) e depois substituir w=1/z^2.

Passo 2

Lembrando que para todo winC vale a série de Maclaurin
sen(w)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,w^2n+1,
que converge para todo w.

Passo 3

Substituindo w=tfrac1z^2 na série de sen(w) obtemos
sen!l(tfrac1z^2r) =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,l(tfrac1z^2r)^2n+1 =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,1z^4n+2

Passo 4

Agora multiplicamos por z^2:
f(z)=z^2sen!l(tfrac1z^2r) =z^2sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,1z^4n+2 =sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,z^2z^4n+2
Simplificando a potência de z em cada termo dá
z^2z^4n+2=1z^4n,
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f(z)=sumn=0^infty(-1)^n(2n+1)!,1z^4n

Passo 5

Separando o termo n=0 do restante da soma, vemos que o termo n=0 vale
(-1)^0(2cdot0+1)!,1z^0 =11!=1,
e para n>=1 mantemos a soma em potências negativas de z.

Resposta

1+sumn=1^infty(-1)^n(2n+1)!,1z^4n

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