Mostre que se
, então
Passo 1
O enunciado pede para obter a expansão de Laurent da função
no anel
. Vamos usar a mudança de variável
de forma que a série fique em potências de
e aplicar a série geométrica em
.
Passo 2
Em termos de
temos
Logo
Passo 3
Fatoramos o denominador para isolar a parte que gera série geométrica:
portanto
Passo 4
Como
, podemos usar a série geométrica
Passo 5
Multiplicando em bloco,
Passo 6
No primeiro somatório separamos o termo
:
No segundo somatório reindexamos implicitamente
:
Somando ambos os resultados em potências de
,
Assim obtemos
Passo 7
Voltando a
, concluímos
válido para
.