Mostre que se 0<|z-1|<2, então
z(z-1)(z-3)=-3 sumn=0^infty (z-1)^n2^n+2-12(z-1)

Passo 1

O enunciado pede para obter a expansão de Laurent da função
f(z)=z(z-1)(z-3)
no anel 0<|z-1|<2. Vamos usar a mudança de variável
w = z-1
de forma que a série fique em potências de w e aplicar a série geométrica em 11 - w/2.

Passo 2

Em termos de w temos
z = 1 + w, z-1 = w, z-3 = (1+w)-3 = w - 2
Logo
f(z) = 1+ww,(w-2)

Passo 3

Fatoramos o denominador para isolar a parte que gera série geométrica:
w,(w-2) = -2wl(1 - w2r),
portanto
f(z) = 1+w-2w;11 - tfracw2 = -1+w2w;11 - tfracw2

Passo 4

Como |w|=|z-1|<2, podemos usar a série geométrica
11 - tfracw2 = sumn=0^inftyl(w2r)^n

Passo 5

Multiplicando em bloco,
f(z) = -l(12w + 12r), sumn=0^inftyw^n2^n = -12wsumn=0^inftyw^n2^n ;-;12sumn=0^inftyw^n2^n

Passo 6

No primeiro somatório separamos o termo n=0:
-12wsumn=0^inftyw^n2^n = -12w;-;sumn=1^inftyw^n-12^n+1 = -12w;-;summ=0^inftyw^m2^m+2
No segundo somatório reindexamos implicitamente n=m:
-12sumn=0^inftyw^n2^n = -summ=0^inftyw^m2^m+1
Somando ambos os resultados em potências de w^m,
-w^m2^m+2 ;-;w^m2^m+1 = -1+22^m+2,w^m = -3,w^m2^m+2
Assim obtemos
f(z) = -12w ;-;3summ=0^inftyw^m2^m+2

Passo 7

Voltando a w = z-1, concluímos
z(z-1)(z-3) = -3 sumn=0^infty (z-1)^n2^n+2 ;-;12(z-1),
válido para 0<|z-1|<2.

Resposta

z(z-1)(z-3) = -3 sumn=0^infty (z-1)^n2^n+2 -12(z-1)

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