Encontre a série de Taylor ou de Maclaurin considerando como centro o ponto dado, e determine o raio de convergência. (Mostre os detalhes do que fizer.)
1 / z^{2}, i

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(z)=1/z^{2} centrada em z_{0}=i e o raio de convergência. Vamos reescrever f em função de w=(z-i)/i e usar a expansão binomial para (1+w)^{-2}.

Passo 2

Reescrevemos
f(z)=\frac{1}{z^{2}} =\frac{1}{\bigl(i+(z-i)\bigr)^{2}} =\frac{1}{i^{2}}\;\frac{1}{\bigl(1+\tfrac{z-i}{i}\bigr)^{2}} =-1\;\frac{1}{(1+w)^{2}},
onde definimos \displaystyle w=\frac{z-i}{i}.

Passo 3

Para \lvert w\rvert<1 vale o binômio generalizado
\frac{1}{(1+w)^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\,w^{n}.

Passo 4

Multiplicando por -1 e substituindo w=(z-i)/i obtemos
f(z) =-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(n+1)\bigl(\tfrac{z-i}{i}\bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}(n+1)\,i^{-n}\,(z-i)^{n}.
Como i^{-n}=(-1)^{n}i^{n}, temos
(-1)^{n+1}i^{-n} =(-1)^{n+1}(-1)^{n}i^{n} =(-1)^{2n+1}i^{n} =-\,i^{n}.
Logo
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}-(n+1)\,i^{n}\,(z-i)^{n}.

Passo 5

A condição de convergência é \lvert w\rvert<1, ou seja
\bigl\lvert\tfrac{z-i}{i}\bigr\rvert<1 \quad\Longleftrightarrow\quad \lvert z-i\rvert<\lvert i\rvert=1.
Portanto o raio de convergência é R=1.

Resposta

\frac{1}{z^{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}-(n+1)\,i^{n}\,(z-i)^{n}, \qquad R=1.

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