(Enem-MEC) Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
Passo 1
O enunciado trata da interseção de um plano com uma pirâmide de base quadrada. O conteúdo é geometria espacial: quando um plano corta um poliedro convexo, o polígono de seção tem lados formados pelos segmentos em que o plano intercepta as faces do poliedro. Para resolver, vamos usar que cada face cortada gera um lado no polígono de interseção.
Passo 2
Uma pirâmide de base quadrada possui
faces no total:
base quadrada e
faces laterais triangulares. Se o plano interceptar uma face, a interseção dessa face com o plano é sempre um segmento de reta, que será um dos lados do polígono de seção.
Passo 3
Para obter um polígono com
lados (um pentágono), o plano deve interceptar todas as
faces da pirâmide. Cada face cortada contribui com exatamente um lado ao polígono resultante.
Passo 4
Logo, quando o plano intercepta as
faces da pirâmide de base quadrada, o polígono de interseção tem
lados, isto é, forma um pentágono.
Resposta
c) Uma pirâmide de base quadrada tem
faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem
lados.