Mostre que o determinante da matriz
[lll cos (x+a) & sen(x+a) & 1 cos (x+b) & sen(x+b) & 1 cos (x+c) & sen(x+c) & 1 ]
é independente de x.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M(x)= cos(x+a) & sin(x+a) & 1 cos(x+b) & sin(x+b) & 1 cos(x+c) & sin(x+c) & 1
e pede para mostrar que det M(x) não depende de x. Vamos usar as fórmulas de adição de ângulos em trigonometria e a propriedade multilinear do determinante em suas colunas.

Passo 2

Aplicando as fórmulas de adição:
cos(x+u)=cos xcos u-sin xsin u, sin(x+u)=sin xcos u+cos xsin u,
para u=a,b,c. Logo, a primeira coluna de M(x) vale
C1 = cos(x+a)cos(x+b)cos(x+c) = cos x cos acos bcos c - sin x sin asin bsin c,
e a segunda coluna vale
C2 = sin(x+a)sin(x+b)sin(x+c) = sin x cos acos bcos c + cos x sin asin bsin c

Passo 3

Denote
A=cos acos bcos c, B=sin asin bsin c, C=111
Então
M(x)=[,C1,;C2,;C,] = [cos x,A-sin x,B,;sin x,A+cos x,B,;C]

Passo 4

Pela multilinearidade do determinante em colunas,
det M(x) =detl[cos x,A-sin x,B,;sin x,A+cos x,B,;Cr]
Se expandirmos em bilinearidade nas duas primeiras colunas, só surgem termos com
det[A,A,C], det[B,B,C] (que são zero pois colunas repetidas) e
det[A,B,C], det[B,A,C]. Como
det[B,A,C]=-det[A,B,C], obtemos
det M(x) =(cos^2 x+sin^2 x),det[A,B,C] =det[A,B,C],
pois cos^2 x+sin^2 x=1.

Passo 5

Concluímos que
det M(x) =det cos a & sin a & 1 cos b & sin b & 1 cos c & sin c & 1 ,
que não envolve x. Portanto det M(x) é independente de x.

Resposta

det M(x) não depende de x.

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