e pede para mostrar que det M(x) não depende de x. Vamos usar as fórmulas de adição de ângulos em trigonometria e a propriedade multilinear do determinante em suas colunas.
Passo 2
Aplicando as fórmulas de adição:
cos(x+u)=cos xcos u-sin xsin u, sin(x+u)=sin xcos u+cos xsin u,
para u=a,b,c. Logo, a primeira coluna de M(x) vale
C1 = cos(x+a)cos(x+b)cos(x+c) = cos x cos acos bcos c - sin x sin asin bsin c,
e a segunda coluna vale
C2 = sin(x+a)sin(x+b)sin(x+c) = sin x cos acos bcos c + cos x sin asin bsin c
det M(x) =detl[cos x,A-sin x,B,;sin x,A+cos x,B,;Cr]
Se expandirmos em bilinearidade nas duas primeiras colunas, só surgem termos com det[A,A,C], det[B,B,C] (que são zero pois colunas repetidas) e det[A,B,C], det[B,A,C]. Como det[B,A,C]=-det[A,B,C], obtemos
det M(x) =(cos^2 x+sin^2 x),det[A,B,C] =det[A,B,C],
pois cos^2 x+sin^2 x=1.
Passo 5
Concluímos que
det M(x) =det cos a & sin a & 1 cos b & sin b & 1 cos c & sin c & 1 ,
que não envolve x. Portanto det M(x) é independente de x.
Resposta
det M(x) não depende de x.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 301