(EPCAr-2003) Seja um número m=488 a 9 b, onde “b” é o algarismo das unidades e “a”, o algarismo das centenas. Sabe-se que m é divisível por 55, então o menor valor de a+b é igual a
a) 2
b) 7
c) 10
d) 13

Passo 1

O enunciado dá um número de seis dígitos
m = 4,8,8,a,9,b
e pede o menor valor de a+b sabendo que m é divisível por 55. Para ser divisível por 55, m deve ser divisível por 5 e por 11.

Passo 2

Regra da divisibilidade por 5: um número é divisível por 5 se, e somente se, seu algarismo das unidades for 0 ou 5. Logo,
b in 0,5

Passo 3

Regra da divisibilidade por 11: separando os dígitos de m em posições alternadas, da direita para a esquerda, temos
soma das posições ímpares&=b + a + 8, soma das posições pares&=9 + 8 + 4 = 21 çõíçõ
O número é divisível por 11 se a diferença dessas somas for múltiplo de 11, isto é,
(b + a + 8) - 21 = a + b - 13 in 11Z

Passo 4

Da condição a+b-13=11k obtemos as possibilidades
a+b = 13 + 11k
Como a,bin0,1,dots,9, a soma a+b varia de 0 a 18. Assim só há dois candidatos:
a+b = 13(k=0), a+b = 2(k=-1)

Passo 5

Agora impondo bin0,5:
  • Se a+b=2:
    • b=0implies a=2 (válido).
    • b=5implies a=-3 (inválido).
  • Se a+b=13:
    • b=0implies a=13 (inválido).
    • b=5implies a=8 (válido).
Ficamos com duas soluções (a,b)=(2,0) e (8,5), cujas somas são 2 e 13. O menor valor é 2.

Resposta

2

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