Reduza à forma v=A sen u por uma translação adequada dos eixos e trace o gráfico:
y=sen x+cos x

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a curva
y=sin x+cos x
à forma
v=Asin u
por meio de uma translação adequada dos eixos. Vamos usar a identidade que combina seno e cosseno num único seno com amplitude e fase.

Passo 2

Sabemos que
asin x+bcos x=raiza^2+b^2,sin!l(x+varphir),
onde
varphi=arctan!gl(bagr)
Aqui a=1 e b=1, logo
A=raiz1^2+1^2=raiz2, varphi=arctan!l(1r)=pi4

Passo 3

Logo
sin x+cos x =raiz2,sin!l(x+tfracpi4r)
Para eliminar o deslocamento +tfracpi4, definimos a translação dos eixos
u = x+tfracpi4, v = y

Passo 4

Substituindo na expressão de y temos
v = raiz2,sin u,
que é exatamente da forma v=Asin u com A=raiz2.

Passo 5

No plano (u,v) o gráfico de
v=raiz2,sin u
é uma senoide de amplitude raiz2 e período 2pi. Em particular:
– zeros em u=0,pi,2pi;
– máximo em u=tfracpi2 com v=raiz2;
– mínimo em u=tfrac3pi2 com v=-raiz2.

Passo 6

Para voltar ao gráfico original em (x,y) basta deslocar essa senoide tfracpi4 unidades para a esquerda (pois x=u-tfracpi4). Assim, o primeiro zero ocorre em x=-tfracpi4, o primeiro máximo em x=tfracpi4, o segundo zero em x=tfrac3pi4 etc., mantendo amplitude raiz2 e período 2pi.

Resposta

A translação é
u = x+pi4, v = y,
e a curva reduz-se a
v = raiz2,sin u
O gráfico é uma senoide de amplitude raiz2, período 2pi e defasagem -tfracpi4.

Exercícios de Livros Relacionados