Uma equipe de cientistas criou culturas de duas espécies de bactérias. A população da espécie A é regida pela função PA(t)=500 e^t / 3, em que t é o tempo transcorrido, em dias, desde a criação da cultura. Já a população da espécie B é regida por PB(t)=100 e^t / 2+1. Supondo que as duas colônias de bactérias tenham sido criadas no mesmo momento, determine em que intervalo de tempo a população da espécie B foi maior que a da espécie A.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos duas populações de bactérias cujas funções de crescimento são
PA(t)=500,e^t/3,
PB(t)=100,e^t/2+1
Queremos saber em que intervalo de tempo a população de B supera a de A, ou seja, resolver a desigualdade PB(t)>PA(t).

Passo 2

Escrevendo a desigualdade explicitamente e dividindo por 100:
100,e^t/2+1>500,e^t/3 Longrightarrow e^t/2+1>5,e^t/3

Passo 3

Separemos os exponenciais e simplifiquemos:
e^t/2+1=e^1,e^t/2,
então
e,e^t/2>5,e^t/3 Longrightarrow e^t/2-t/3,e>5
Como t/2-t/3=t/6, isso fica
e,e^t/6>5 Longrightarrow e^1+t/6>5

Passo 4

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
1+t6>ln5 Longrightarrow t6>ln5-1 Longrightarrow t>6(ln5-1)

Passo 5

Interpretando: em t=6(ln5-1) as populações são iguais, e para todo t maior que esse valor a população de B é maior que a de A. Calculando numericamente:
6(ln5-1)approx6(1,6094-1)=6cdot0,6094approx3,66 dias

Resposta

A população de B supera a de A para
t>6(ln5-1)approx3,66 dias

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