Resolva as inequações.
2 <= log 1 / 2(14-x) <= 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2 <= log1/2l(tfrac14 - xr) <= 3
Este é um problema de inequação logarítmica com base 1/2. Vamos usar dois ingredientes principais: 1) o domínio do logaritmo exige tfrac14 - x>0; 2) como a base 1/2 é menor que 1, a função log1/2(y) é estritamente decrescente, o que faz as desigualdades inverterem-se ao passarmos para o argumento y.

Passo 2

Determinar o domínio de validade do logaritmando:
tfrac14 - x > 0 Longrightarrow x < tfrac14

Passo 3

Tratar a primeira parte
2 <= log1/2l(tfrac14 - xr)
Como log1/2 é decrescente, essa desigualdade inverte ao passar para o argumento:
tfrac14 - x ;<=;(1/2)^2 = tfrac14 Longrightarrow -x <= 0 Longrightarrow x >= 0

Passo 4

Tratar a segunda parte
log1/2l(tfrac14 - xr) <= 3
De novo, a base menor que 1 inverte a desigualdade ao passar para o argumento:
tfrac14 - x ;>=;(1/2)^3 = tfrac18 Longrightarrow -x >= tfrac18 - tfrac14 = -tfrac18 Longrightarrow x <= tfrac18

Passo 5

Juntando todas as condições:
x < tfrac14, x >= 0, x <= tfrac18
a mais restritiva é
0 <= x <= tfrac18

Resposta

[,0,tfrac18,]

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