Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções e determine onde elas não são deriváveis:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
e determinar onde ela não é derivável. O conteúdo é análise de funções definidas por partes e derivabilidade. Para resolver, vamos reescrever
em casos, esboçar cada ramo e aplicar as regras de derivação e o conceito de derivada lateral.
Passo 2
Primeiro observamos que
Logo o domínio de .
Passo 3
Para esboçar o gráfico, note que em
temos a curva
, que cresce suavemente a partir de
. Em
temos
, que é o reflexo dessa curva em relação ao eixo
. Alguns pontos-chave:
- Em
, . - Em
, e em , .
O gráfico é simétrico em torno do eixo, formando um “V” arredondado (sem ponta aguda, mas com cuspide em ).
Passo 4
Agora calculamos a derivada em
usando regras usuais:
Para ,
Para
Para
,
Passo 5
Para estudar a derivabilidade em
, calculamos as derivadas laterais:
a) Derivada pela direita
a) Derivada pela direita
b) Derivada pela esquerda
Como
(elas nem são finitas), a derivada em
não existe.
Resposta
A função
e não é derivável em (x=0].]