Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções e determine onde elas não são deriváveis:
raiz|x|;

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=raizlvert xrvert
e determinar onde ela não é derivável. O conteúdo é análise de funções definidas por partes e derivabilidade. Para resolver, vamos reescrever f em casos, esboçar cada ramo e aplicar as regras de derivação e o conceito de derivada lateral.

Passo 2

Primeiro observamos que
Logo o domínio de .

Passo 3

Para esboçar o gráfico, note que em x>=0 temos a curva y=raizx, que cresce suavemente a partir de (0,0). Em x<0 temos y=raiz-x, que é o reflexo dessa curva em relação ao eixo y. Alguns pontos-chave:
  • Em x=0, f(0)=0.
  • Em x=1, f(1)=1 e em x=-1, f(-1)=1.
    O gráfico é simétrico em torno do eixo y, formando um “V” arredondado (sem ponta aguda, mas com cuspide em (0,0)).

Passo 4

Agora calculamos a derivada em xneq0 usando regras usuais:
Para x>0,
f(x)=raizx=x^1/2 Longrightarrow f'(x)=tfrac12,x^-1/2=12raizx
Para x<0,
f(x)=raiz-x=(-x)^1/2 Longrightarrow f'(x)=tfrac12,(-x)^-1/2cdot(-1) =-12raiz-x

Passo 5

Para estudar a derivabilidade em x=0, calculamos as derivadas laterais:
a) Derivada pela direita
f'+(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h =limhto0^+raizh-0h =limhto0^+1raizh =+infty
b) Derivada pela esquerda
f'-(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h =limhto0^-raiz-h-0h =limhto0^+raizh-h =-limhto0^+1raizh =-infty
Como f'+(0)neq f'-(0) (elas nem são finitas), a derivada em x=0 não existe.

Resposta

A função
e não é derivável em (x=0].]

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